Решите, страница 99 - гдз по физике 7 класс учебник Кронгарт, Даданбеков

Решите

1. Используя график (см. рис. 18.7), определите жесткость пружины.

Ответ: $500 \text{ Н/м}$

2. Под действием какой силы пружина, имеющая жесткость $1 \text{ кН/м}$, сжалась на $4 \text{ см}$?

Ответ: $40 \text{ Н}$

3. Найдите жесткость пружины, которая под действием силы $3 \text{ Н}$ удлинилась на $6 \text{ см}$?

Ответ: $50 \text{ Н/м}$

4. Какова жесткость пружины, если груз массой $10 \text{ кг}$ растягивает пружину на $10 \text{ см}$?

Ответ: $1 \text{ кН/м}$

5. Груз какой массы нужно подвесить к пружине жесткостью $1.2 \text{ кН/м}$, чтобы растянуть ее на $2 \text{ см}$?

Ответ: $2.4 \text{ кг}$

6. Груз массой $3 \text{ кг}$ растягивает пружину на $4 \text{ см}$. Каким должен быть груз, который растянет пружину еще на $8 \text{ см}$?

Ответ: $9 \text{ кг}$

7. При помощи пружинного динамометра равномерно поднимают груз массой $m = 2 \text{ кг}$. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если ее жесткость $k = 1000 \text{ Н/м}$.

Ответ: $2 \text{ см}$

8. Пружина жесткостью $300 \text{ Н/м}$ растянулась на $50 \text{ мм}$. Какова масса груза, способного производить данную деформацию?

Ответ: $1.5 \text{ кг}$

9. Если к пружине подвесить груз массой $3 \text{ кг}$, то пружина удлиняется на $1.5 \text{ см}$. Каким станет удлинение пружины, если к ней довесить груз массой $4 \text{ кг}$?

Ответ: $3.5 \text{ см}$

10. Если к пружине подвесить груз массой $20 \text{ кг}$, то длина пружины будет $12 \text{ см}$, а если подвесить груз $m = 50 \text{ кг}$, то длина составит $15 \text{ см}$. Какова первоначальная длина пружины?

Ответ: $10 \text{ см}$

1. Используя график (см. рис. 18.7), определите жесткость пружины.

Дано:

Из графика выберем удобную точку, например, точку с координатами:

Сила $F = 6 \text{ Н}$

Удлинение $x = 12 \text{ мм}$

Переведем данные в систему СИ:

$x = 12 \text{ мм} = 0,012 \text{ м}$

Найти:

Жесткость пружины $k$.

Решение:

Согласно закону Гука, сила упругости, возникающая в пружине, пропорциональна ее удлинению. Приложенная внешняя сила $F$ равна по модулю силе упругости $F_{упр}$.

$F = kx$

Выразим жесткость пружины $k$ из этой формулы:

$k = \frac{F}{x}$

Подставим числовые значения из графика:

$k = \frac{6 \text{ Н}}{0,012 \text{ м}} = 500 \text{ Н/м}$

Ответ: 500 Н/м.

2. Под действием какой силы пружина, имеющая жесткость 1 кН/м, сжалась на 4 см?

Дано:

Жесткость $k = 1 \text{ кН/м}$

Сжатие $x = 4 \text{ см}$

Переведем данные в систему СИ:

$k = 1 \text{ кН/м} = 1000 \text{ Н/м}$

$x = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

Найти:

Силу $F$.

Решение:

По закону Гука, сила, вызывающая деформацию, равна:

$F = kx$

Подставим значения в формулу:

$F = 1000 \text{ Н/м} \cdot 0,04 \text{ м} = 40 \text{ Н}$

Ответ: 40 Н.

3. Найдите жесткость пружины, которая под действием силы 3 Н удлинилась на 6 см?

Дано:

Сила $F = 3 \text{ Н}$

Удлинение $x = 6 \text{ см}$

Переведем данные в систему СИ:

$x = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

Найти:

Жесткость пружины $k$.

Решение:

Из закона Гука $F = kx$ выразим жесткость $k$:

$k = \frac{F}{x}$

Подставим числовые значения:

$k = \frac{3 \text{ Н}}{0,06 \text{ м}} = 50 \text{ Н/м}$

Ответ: 50 Н/м.

4. Какова жесткость пружины, если груз массой 10 кг растягивает пружину на 10 см?

Дано:

Масса груза $m = 10 \text{ кг}$

Удлинение $x = 10 \text{ см}$

Переведем данные в систему СИ:

$x = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Жесткость пружины $k$.

Решение:

Сила, растягивающая пружину, — это вес груза $P$, который в состоянии покоя равен силе тяжести $F_{тяж} = mg$. Эта сила уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр} = kx$.

$mg = kx$

Выразим жесткость $k$:

$k = \frac{mg}{x}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

$k = \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{0,1 \text{ м}} = \frac{100 \text{ Н}}{0,1 \text{ м}} = 1000 \text{ Н/м} = 1 \text{ кН/м}$

Ответ: 1 кН/м.

5. Груз какой массы нужно подвесить к пружине жесткостью 1,2 кН/м, чтобы растянуть ее на 2 см?

Дано:

Жесткость $k = 1,2 \text{ кН/м}$

Удлинение $x = 2 \text{ см}$

Переведем данные в систему СИ:

$k = 1,2 \text{ кН/м} = 1200 \text{ Н/м}$

$x = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

Массу груза $m$.

Решение:

В состоянии равновесия сила тяжести груза $mg$ равна силе упругости пружины $kx$:

$mg = kx$

Выразим массу $m$:

$m = \frac{kx}{g}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

$m = \frac{1200 \text{ Н/м} \cdot 0,02 \text{ м}}{10 \text{ Н/кг}} = \frac{24 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} = 2,4 \text{ кг}$

Ответ: 2,4 кг.

6. Груз массой 3 кг растягивает пружину на 4 см. Каким должен быть груз, который растянет пружину еще на 8 см?

Дано:

Начальная масса $m_1 = 3 \text{ кг}$

Начальное удлинение $x_1 = 4 \text{ см}$

Дополнительное удлинение $\Delta x = 8 \text{ см}$

Переведем данные в систему СИ (хотя в данном решении это не обязательно, так как используется пропорция):

$x_1 = 0,04 \text{ м}$

$\Delta x = 0,08 \text{ м}$

Найти:

Конечную массу груза $m_2$.

Решение:

Удлинение пружины прямо пропорционально массе подвешенного груза, так как $mg = kx \implies m = (\frac{k}{g})x$. Составим пропорцию:

$\frac{m_1}{x_1} = \frac{m_2}{x_2}$

Конечное удлинение пружины $x_2$ будет равно сумме начального и дополнительного удлинений:

$x_2 = x_1 + \Delta x = 4 \text{ см} + 8 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Выразим конечную массу $m_2$ из пропорции:

$m_2 = m_1 \cdot \frac{x_2}{x_1}$

Подставим числовые значения:

$m_2 = 3 \text{ кг} \cdot \frac{12 \text{ см}}{4 \text{ см}} = 3 \text{ кг} \cdot 3 = 9 \text{ кг}$

Ответ: 9 кг.

7. При помощи пружинного динамометра равномерно поднимают груз массой m = 2 кг. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если ее жесткость k = 1000 Н/м.

Дано:

Масса груза $m = 2 \text{ кг}$

Жесткость $k = 1000 \text{ Н/м}$

Найти:

Удлинение пружины $x$.

Решение:

Так как груз поднимают равномерно, сила натяжения пружины (сила упругости) равна силе тяжести груза.

$F_{упр} = F_{тяж} \implies kx = mg$

Выразим удлинение $x$:

$x = \frac{mg}{k}$

Примем $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

$x = \frac{2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{1000 \text{ Н/м}} = \frac{20 \text{ Н}}{1000 \text{ Н/м}} = 0,02 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,02 \text{ м} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.

8. Пружина жесткостью 300 Н/м растянулась на 50 мм. Какова масса груза, способного производить данную деформацию?

Дано:

Жесткость $k = 300 \text{ Н/м}$

Удлинение $x = 50 \text{ мм}$

Переведем данные в систему СИ:

$x = 50 \text{ мм} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

Массу груза $m$.

Решение:

Из условия равновесия $mg = kx$ выразим массу $m$:

$m = \frac{kx}{g}$

Примем $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

$m = \frac{300 \text{ Н/м} \cdot 0,05 \text{ м}}{10 \text{ Н/кг}} = \frac{15 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг}} = 1,5 \text{ кг}$

Ответ: 1,5 кг.

9. Если к пружине подвесить груз массой 3 кг, то пружина удлиняется на 1,5 см. Каким станет удлинение пружины, если к ней довесить груз массой 4 кг?

Дано:

Начальная масса $m_1 = 3 \text{ кг}$

Начальное удлинение $x_1 = 1,5 \text{ см}$

Добавочная масса $\Delta m = 4 \text{ кг}$

Найти:

Конечное удлинение $x_2$.

Решение:

Удлинение пружины прямо пропорционально массе подвешенного груза ($m \propto x$). Составим пропорцию:

$\frac{m_1}{x_1} = \frac{m_2}{x_2}$

Конечная масса $m_2$ равна сумме начальной и добавочной масс:

$m_2 = m_1 + \Delta m = 3 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 7 \text{ кг}$

Выразим конечное удлинение $x_2$ из пропорции:

$x_2 = x_1 \cdot \frac{m_2}{m_1}$

Подставим числовые значения:

$x_2 = 1,5 \text{ см} \cdot \frac{7 \text{ кг}}{3 \text{ кг}} = \frac{1,5 \cdot 7}{3} \text{ см} = 0,5 \cdot 7 \text{ см} = 3,5 \text{ см}$

Ответ: 3,5 см.

10. Если к пружине подвесить груз массой 20 кг, то длина пружины будет 12 см, а если подвесить груз m = 50 кг, то длина составит 15 см. Какова первоначальная длина пружины?

Дано:

Масса первого груза $m_1 = 20 \text{ кг}$

Длина пружины с первым грузом $L_1 = 12 \text{ см}$

Масса второго груза $m_2 = 50 \text{ кг}$

Длина пружины со вторым грузом $L_2 = 15 \text{ см}$

Переведем данные в систему СИ:

$L_1 = 0,12 \text{ м}$

$L_2 = 0,15 \text{ м}$

Найти:

Первоначальную длину пружины $L_0$.

Решение:

Длина пружины $L$ с подвешенным грузом равна сумме ее первоначальной длины $L_0$ и удлинения $x$:

$L = L_0 + x$

Удлинение $x$ определяется по закону Гука: $mg = kx \implies x = \frac{mg}{k}$.

Запишем систему уравнений для двух случаев:

$\begin{cases} L_1 = L_0 + \frac{m_1g}{k} \\ L_2 = L_0 + \frac{m_2g}{k} \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от $L_0$:

$L_2 - L_1 = \left(L_0 + \frac{m_2g}{k}\right) - \left(L_0 + \frac{m_1g}{k}\right) = \frac{(m_2 - m_1)g}{k}$

$\Delta L = \frac{\Delta m \cdot g}{k}$

Отсюда можно найти отношение $\frac{g}{k}$:

$\frac{g}{k} = \frac{L_2 - L_1}{m_2 - m_1} = \frac{0,15 \text{ м} - 0,12 \text{ м}}{50 \text{ кг} - 20 \text{ кг}} = \frac{0,03 \text{ м}}{30 \text{ кг}} = 0,001 \text{ м/кг}$

Теперь подставим это отношение в первое уравнение системы, чтобы найти $L_0$:

$L_0 = L_1 - m_1 \frac{g}{k}$

$L_0 = 0,12 \text{ м} - 20 \text{ кг} \cdot 0,001 \frac{\text{м}}{\text{кг}} = 0,12 \text{ м} - 0,02 \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,1 \text{ м} = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.