Номер 1.53, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.53. Из упражнений $1.51^*$ и $1.52^*$ следует, что если $x_1$ является приближенным значением числа $\sqrt{a}$ ($a > 0$) по недостатку (по избытку), то число $\frac{a}{x_1}$ является приближенным значением $\sqrt{a}$ по избытку (по недостатку). Возьмем среднее арифметическое этих приближенных значений:

$x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{a}{x_1}\right).$

Тогда $x_2$ является более точным приближенным значением числа $\sqrt{a}$ по сравнению с приближенными значениями $x_1$ и $\frac{a}{x_1}$. А в свою очередь одно из чисел $x_2$ и $\frac{a}{x_2}$ (следует из упражнений $1.50$ и $1.51^*$) является приближенным значением $\sqrt{a}$ по недостатку, а другое – по избытку. Теперь и число $x_3 = \frac{1}{2}\left(x_2 + \frac{a}{x_2}\right)$ также является более точным приближенным значением числа $\sqrt{a}$ по сравнению с числами $x_2$ и $\frac{a}{x_2}$.

Продолжая этот процесс, мы получим следующую рекуррентную (от лат. recurrens – возвращающийся, возвратный) формулу приближенного значения числа $\sqrt{a}$:

$x_n = \frac{1}{2} \left(x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}}\right)$, $n = 1, 2, \dots$ (3)

Например, $x_1 = 2$ является приближенным значением $\sqrt{5}$ по недостатку. Тогда по формуле (3) второе приближенное значение числа $\sqrt{5}$ имеет вид:

$x_2 = \frac{1}{2} \left(2 + \frac{5}{2}\right) = 2,25.$

Теперь определим следующие приближенные значения числа $\sqrt{5}$:

$x_3 = \frac{1}{2}\left(2,25 + \frac{5}{2,25}\right) = \frac{161}{72} = 2,236(1) \approx 2,2361$; $x_4 = \frac{1}{2}\left(2,2361 + \frac{5}{2,2361}\right) \approx 2,2361.$

Итак, $x_3$ является приближенным значением (десятичным приближением) числа $\sqrt{5}$ с точностью до 0,0001.

С помощью формулы (3) найдите приближенные значения числа:

1)$\sqrt{24,24}$; 2)$\sqrt{3,81}$; 3)$\sqrt{516,3}$; 4)$\sqrt{0,721}$ с точностью до 0,001.