Номер 3, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Дано дробно-рациональное уравнение:

$$\frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+5} = \frac{18}{x^2 + 4x - 5} + 1$$

1. Разложим знаменатель дроби в правой части на множители:
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета:
$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$$
$$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$
Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5)$.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -5$.

3. Преобразуем и решим уравнение:
Перепишем исходное уравнение с учетом разложения знаменателя:

$$\frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+5} = \frac{18}{(x-1)(x+5)} + 1$$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 1)(x + 5) \neq 0$:

$$3(x + 5) - 4(x - 1) = 18 + 1 \cdot (x - 1)(x + 5)$$

Раскроем скобки:

$$3x + 15 - 4x + 4 = 18 + x^2 + 4x - 5$$

$$-x + 19 = x^2 + 4x + 13$$

Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:

$$x^2 + 4x + 13 + x - 19 = 0$$

$$x^2 + 5x - 6 = 0$$

4. Найдем корни получившегося квадратного уравнения:
По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -5$
• $x_1 \cdot x_2 = -6$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

5. Проверка ОДЗ:
Корень $x = 1$ не принадлежит ОДЗ ($x \neq 1$), поэтому является посторонним.
Корень $x = -6$ удовлетворяет условиям ОДЗ.

Ответ: $-6$