Номер 10, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Дано неравенство:

$$\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leqslant 0$$

Разложим знаменатель дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$\frac{(x + 4)^2}{(x - 3)(x + 3)} \leqslant 0$$

Применим метод интервалов:

• Нули числителя: $(x + 4)^2 = 0 \implies x = -4$ (корень второй кратности, при переходе через него знак выражения не меняется).
• Нули знаменателя: $(x - 3)(x + 3) = 0 \implies x = 3$ и $x = -3$ (в этих точках выражение не определено, поэтому они всегда выколотые).

Отметим найденные точки на числовой прямой:

• Точка $x = -4$ — закрашенная, так как знак неравенства нестрогий ($\leqslant$);
• Точки $x = -3$ и $x = 3$ — выколотые, так как делить на ноль нельзя.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знаки дроби на каждом из них:

• Для $x \in (3; +\infty)$, например, при $x = 4$: $\frac{(4 + 4)^2}{4^2 - 9} = \frac{64}{7} > 0$ (знак «$+$»).
• Для $x \in (-3; 3)$, например, при $x = 0$: $\frac{(0 + 4)^2}{0^2 - 9} = \frac{16}{-9} < 0$ (знак «$- $»).
• Для $x \in (-4; -3)$, например, при $x = -3{,}5$: числитель $(-3{,}5 + 4)^2 > 0$, знаменатель $(-3{,}5)^2 - 9 = 12{,}25 - 9 > 0$, значит дробь положительна (знак «$+$»).
• Для $x \in (-\infty; -4)$, например, при $x = -5$: числитель $(-5 + 4)^2 > 0$, знаменатель $(-5)^2 - 9 = 25 - 9 > 0$, значит дробь положительна (знак «$+$»).

По условию неравенства требуется, чтобы дробь была меньше либо равна нулю ($\leqslant 0$):

• Отрицательные значения выражение принимает на интервале $(-3; 3)$.
• Равенство нулю достигается в точке $x = -4$.

Объединяя изолированную точку и интервал, получаем общее решение неравенства.

Ответ:

$$x \in \{-4\} \cup (-3; 3)$$