Номер 5, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $|2x - 5| > 3$

Решение:

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств:

$$\left[\begin{array}{l} 2x - 5 > 3 \\ 2x - 5 < -3 \end{array}\right.$$

Решим каждое неравенство отдельно:

• $2x - 5 > 3 \implies 2x > 8 \implies x > 4$;
• $2x - 5 < -3 \implies 2x < 2 \implies x < 1$.

Объединяя полученные промежутки, находим общее решение: $x < 1$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$

б) $|4x + 6| \leqslant 2$

Решение:

Неравенство вида $|f(x)| \leqslant a$ (где $a \geqslant 0$) равносильно двойному неравенству:

$$-2 \leqslant 4x + 6 \leqslant 2$$

Вычтем $6$ из всех частей неравенства:

$$-2 - 6 \leqslant 4x \leqslant 2 - 6$$

$$-8 \leqslant 4x \leqslant -4$$

Разделим все части неравенства на положительное число $4$ (знаки неравенства не меняются):

$$-2 \leqslant x \leqslant -1$$

Ответ: $x \in [-2; -1]$

в) $|2x - 3| < x + 3$

Решение:

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств (двойному неравенству):

$$\begin{cases} 2x - 3 < x + 3 \\ 2x - 3 > -(x + 3) \end{cases}$$

Решим каждое неравенство системы:

• $2x - 3 < x + 3 \implies 2x - x < 3 + 3 \implies x < 6$;
• $2x - 3 > -x - 3 \implies 2x + x > -3 + 3 \implies 3x > 0 \implies x > 0$.

Пересечением решений $x < 6$ и $x > 0$ является интервал $0 < x < 6$.

Ответ: $x \in (0; 6)$

г) $|3x + 1| > x + 3$

Решение:

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности неравенств:

$$\left[\begin{array}{l} 3x + 1 > x + 3 \\ 3x + 1 < -(x + 3) \end{array}\right.$$

Решим каждое неравенство отдельно:

• $3x + 1 > x + 3 \implies 3x - x > 3 - 1 \implies 2x > 2 \implies x > 1$;
• $3x + 1 < -x - 3 \implies 3x + x < -3 - 1 \implies 4x < -4 \implies x < -1$.

Объединяем полученные множества решений: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$