Номер 8, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\begin{cases} x^2 - x - 30 < 0, \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решение:
1. Решим первое неравенство: $x^2 - x - 30 < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 30 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{1 - 11}{2} = -5$, $x_2 = \frac{1 + 11}{2} = 6$.
Так как ветви параболы направлены вверх и знак неравенства $<$, решением является интервал между корнями:
$x \in (-5; 6)$.

2. Решим второе неравенство: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$, то есть $x \in [1; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$(-5; 6) \cap [1; +\infty) = [1; 6)$.

Ответ: $x \in [1; 6)$

б) $\begin{cases} x^2 - 4x + 4 \ge 0, \\ 4x - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решение:
1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 4 \ge 0$.
Свернем выражение по формуле квадрата разности:
$(x - 2)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, следовательно, неравенство верно при любых $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $4x - x^2 \ge 0$.
Умножим на $-1$ (при этом изменим знак неравенства):
$x^2 - 4x \le 0$
Разложим на множители:
$x(x - 4) \le 0$.
Корни: $x = 0$ и $x = 4$. Применяя метод интервалов, получаем:
$x \in [0; 4]$.

3. Пересечением решений является общий промежуток:
$(-\infty; +\infty) \cap [0; 4] = [0; 4]$.

Ответ: $x \in [0; 4]$

в) $\begin{cases} x^2 - 2x - 48 \le 0, \\ x^2 - 4 \le 0 \end{cases}$

Решение:
1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 48 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$ по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -48 \implies x_1 = -6, \; x_2 = 8$.
Так как ветви параболы направлены вверх и знак неравенства $\le$, получаем отрезок:
$x \in [-6; 8]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4 \le 0$.
Разложим по формуле разности квадратов:
$(x - 2)(x + 2) \le 0$.
Корни: $x = -2$ и $x = 2$.
Решением является отрезок:
$x \in [-2; 2]$.

3. Найдем пересечение решений:
$[-6; 8] \cap [-2; 2] = [-2; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; 2]$

г) $\begin{cases} x^2 - 2x + 2 > 0, \\ 4x - x^2 - 5 < 0 \end{cases}$

Решение:
1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x + 2 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$.
Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$ и дискриминант $D < 0$, парабола целиком лежит выше оси абсцисс. Значит, неравенство выполняется при всех действительных $x$:
$x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $4x - x^2 - 5 < 0$.
Запишем в стандартном виде: $-x^2 + 4x - 5 < 0$.
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$x^2 - 4x + 5 > 0$.
Найдем дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$.
Коэффициент $a = 1 > 0$ и $D < 0$, следовательно, выражение положительно при любых значениях переменной:
$x \in (-\infty; +\infty)$.

3. Пересечение двух бесконечных числовых прямых дает всю числовую прямую.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$