Обсудить в классе, страница 164 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 4. Колебания и волны. Параграф 39. Громкость и высота звука. Вопросы - страница 164.

Условие.

Если дуть у отверстия бутылки, то получается звук. Как рассчитать частоту звука?

Решение.

Звук, возникающий при дутье у отверстия бутылки, является результатом явления акустического резонанса, известного как резонанс Гельмгольца. Бутылка в данном случае выступает в роли резонатора Гельмгольца. В этой системе столб воздуха в горлышке бутылки колеблется как единое целое (играя роль "массы"), а объем воздуха в основной части бутылки сжимается и разжимается, действуя как "пружина". Поток воздуха, направленный поперек отверстия, создает вихри, которые возбуждают колебания этой системы на ее собственной резонансной частоте. Эту частоту мы и слышим как звук определенной высоты.

Рассчитать частоту этого звука можно по следующей формуле:

$f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{V \cdot L_{eff}}}$

где:
$\text{f}$ - резонансная частота звука в герцах (Гц);
$\text{v}$ - скорость звука в воздухе, которая зависит от температуры (при 20°C примерно равна 343 м/с);
$\text{A}$ - площадь поперечного сечения горлышка бутылки в квадратных метрах (м²). Для круглого горлышка $A = \pi r^2$, где $\text{r}$ - внутренний радиус горлышка;
$\text{V}$ - объем воздуха в основной, широкой части бутылки (резонансной полости) в кубических метрах (м³). Если в бутылке есть жидкость, то это объем воздуха над жидкостью;
$L_{eff}$ - эффективная длина горлышка в метрах (м).

Эффективная длина горлышка $L_{eff}$ больше его геометрической длины $\text{L}$, так как часть воздуха, прилегающая к отверстиям горлышка (как внутри, так и снаружи), также участвует в колебаниях. Эффективная длина рассчитывается как:

$L_{eff} = L + \Delta L$

где $\text{L}$ - фактическая длина горлышка. Поправочный член $\Delta L$ зависит от геометрии отверстия. Для горлышка бутылки, которое можно считать цилиндрической трубкой с фланцем с одной стороны (переход в основной объем) и без фланца с другой (открытый конец), хорошей аппроксимацией является:

$\Delta L \approx 1.6 \cdot r$

где $\text{r}$ - радиус горлышка. Таким образом, полная формула для эффективной длины:

$L_{eff} = L + 1.6 \cdot r$

Из формулы видно, что частота звука будет тем выше, чем меньше объем воздуха $\text{V}$ в бутылке. Именно поэтому, наливая в бутылку воду, мы уменьшаем $\text{V}$ и получаем звук более высокого тона.

Пример расчета

Рассчитаем частоту звука для типичной стеклянной бутылки.

Дано:

Объем бутылки: $V_{бут} = 0.5$ л
Внутренний диаметр горлышка: $d = 1.8$ см
Длина горлышка: $L = 6$ см
Скорость звука в воздухе (при 20°C): $v = 343$ м/с

Перевод в систему СИ:
$V = 0.5 \text{ л} = 0.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$d = 1.8 \text{ см} = 0.018 \text{ м}$
$L = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Частоту звука $\text{f}$.

Решение

1. Найдем радиус горлышка:
$r = \frac{d}{2} = \frac{0.018}{2} = 0.009 \text{ м}$

2. Рассчитаем площадь поперечного сечения горлышка:
$A = \pi r^2 = \pi \cdot (0.009)^2 \approx 3.1416 \cdot 8.1 \cdot 10^{-5} \approx 2.54 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

3. Рассчитаем эффективную длину горлышка:
$L_{eff} = L + 1.6 \cdot r = 0.06 + 1.6 \cdot 0.009 = 0.06 + 0.0144 = 0.0744 \text{ м}$

4. Подставим все значения в формулу для частоты резонатора Гельмгольца:
$f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{V \cdot L_{eff}}} = \frac{343}{2 \cdot 3.1416}\sqrt{\frac{2.54 \cdot 10^{-4}}{0.5 \cdot 10^{-3} \cdot 0.0744}}$

$f \approx 54.58 \cdot \sqrt{\frac{2.54 \cdot 10^{-4}}{3.72 \cdot 10^{-5}}} \approx 54.58 \cdot \sqrt{6.828} \approx 54.58 \cdot 2.613 \approx 142.6 \text{ Гц}$

Ответ: Частоту звука, возникающего при дутье в бутылку, можно рассчитать по формуле резонатора Гельмгольца $f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{V \cdot L_{eff}}}$. Для приведенного примера с бутылкой объемом 0.5 л частота составит примерно 143 Гц.