Задача 33.1, страница 151 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 33.1. Мощность излучения Солнца равна $4 \cdot 10^{26}$ Вт. Такой выход энергии обеспечивается синтезом в недрах Солнца 600 млн т гелия из водорода за 1 с. Сравните массу расходуемого Солнцем за 1 млрд лет водорода с массой Земли и с массой Солнца. Сделайте вывод: долго ли ещё может светить Солнце?

Дано:

Мощность излучения Солнца (светимость), $L = 4 \cdot 10^{26}$ Вт
Скорость синтеза гелия, $q'_{He} = 600$ млн т/с
Период времени, $T = 1$ млрд лет
Масса Земли, $M_З \approx 6 \cdot 10^{24}$ кг
Масса Солнца, $M_С \approx 2 \cdot 10^{30}$ кг
Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с
Возраст Солнца, $T_{возраст} \approx 4.6$ млрд лет

Перевод в систему СИ:
$q'_{He} = 600 \cdot 10^6 \text{ т/с} = 600 \cdot 10^6 \cdot 10^3 \text{ кг/с} = 6 \cdot 10^{11}$ кг/с
$T = 10^9 \text{ лет} \approx 10^9 \cdot 3.15 \cdot 10^7 \text{ с} = 3.15 \cdot 10^{16}$ с

Найти:

1. Сравнить массу водорода $M_H$, расходуемого за $\text{T}$, с $M_З$ и $M_С$.
2. Сделать вывод о том, долго ли ещё может светить Солнце.

Решение:

Энергия, излучаемая Солнцем, возникает в результате термоядерного синтеза, в ходе которого часть массы водорода превращается в энергию. Масса водорода ($m_H$), вступающего в реакцию, равна сумме массы синтезированного гелия ($m_{He}$) и массы, превратившейся в энергию (дефект массы, $\Delta m$).

$m_H = m_{He} + \Delta m$

Скорость расхода массы (дефект массы в секунду), $q_{\Delta m}$, можно найти из формулы Эйнштейна для энергии покоя, используя мощность излучения $\text{L}$:

$L = q_{\Delta m} c^2 \implies q_{\Delta m} = \frac{L}{c^2}$

$q_{\Delta m} = \frac{4 \cdot 10^{26} \text{ Вт}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{4 \cdot 10^{26}}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг/с} \approx 4.44 \cdot 10^9 \text{ кг/с}$

Теперь найдем полную массу водорода, которая расходуется (сгорает) в недрах Солнца каждую секунду ($q_H$):

$q_H = q'_{He} + q_{\Delta m} = 6 \cdot 10^{11} \text{ кг/с} + 4.44 \cdot 10^9 \text{ кг/с} \approx 6.044 \cdot 10^{11} \text{ кг/с}$

Вычислим массу водорода $M_H$, которую Солнце израсходует за 1 миллиард лет:

$M_H = q_H \cdot T = (6.044 \cdot 10^{11} \text{ кг/с}) \cdot (3.15 \cdot 10^{16} \text{ с}) \approx 1.9 \cdot 10^{28} \text{ кг}$

Сравните массу расходуемого Солнцем за 1 млрд лет водорода с массой Земли и с массой Солнца.

1. Сравнение с массой Земли:

$\frac{M_H}{M_З} = \frac{1.9 \cdot 10^{28} \text{ кг}}{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}} \approx 3167$

Масса водорода, расходуемого Солнцем за 1 млрд лет, примерно в 3200 раз больше массы Земли.

2. Сравнение с массой Солнца:

$\frac{M_H}{M_С} = \frac{1.9 \cdot 10^{28} \text{ кг}}{2 \cdot 10^{30} \text{ кг}} = 0.0095 = 0.95\%$

Масса водорода, расходуемого Солнцем за 1 млрд лет, составляет примерно 1% от всей массы Солнца.

Ответ: За 1 миллиард лет Солнце расходует массу водорода, которая примерно в 3200 раз превышает массу Земли и составляет около 1% от массы самого Солнца.

Сделайте вывод: долго ли ещё может светить Солнце?

Для оценки времени жизни Солнца нужно знать его запасы термоядерного "топлива" — водорода. Термоядерные реакции происходят только в ядре Солнца, где температура и давление достаточно высоки. Считается, что в реакции может участвовать около 10% от общей массы Солнца.

Масса водорода, доступного для синтеза:

$M_{топливо} \approx 0.1 \cdot M_С = 0.1 \cdot (2 \cdot 10^{30} \text{ кг}) = 2 \cdot 10^{29} \text{ кг}$

Полное время жизни Солнца на главной последовательности (пока оно сжигает водород) можно оценить, разделив массу топлива на скорость его расхода (при условии, что светимость постоянна):

$T_{полное} = \frac{M_{топливо}}{q_H} = \frac{2 \cdot 10^{29} \text{ кг}}{6.044 \cdot 10^{11} \text{ кг/с}} \approx 3.3 \cdot 10^{17} \text{ с}$

Переведем это время в годы:

$T_{полное} \approx \frac{3.3 \cdot 10^{17} \text{ с}}{3.15 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 1.05 \cdot 10^{10} \text{ лет} \approx 10.5$ млрд лет

Текущий возраст Солнца составляет около 4.6 млрд лет. Следовательно, оставшееся время свечения за счет сжигания водорода:

$T_{ост} = T_{полное} - T_{возраст} = 10.5 \text{ млрд лет} - 4.6 \text{ млрд лет} = 5.9$ млрд лет

Таким образом, Солнце уже прожило почти половину своей жизни на главной последовательности и будет светить еще очень долго.

Ответ: Да, Солнце может светить еще очень долго. Его запасов водородного топлива хватит еще примерно на 5-6 миллиардов лет.