Номер 1, страница 243 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

В 1885 г. швейцарский математик и физик И. Бальмер, анализируя линии атомного спектра водорода, лежащие в видимом диапазоне (см. рис. 178, б, д), заметил, что их длины волн можно выразить следующим образом: $ \lambda_\alpha = \frac{9k}{5} $, $ \lambda_\beta = \frac{4k}{3} $, $ \lambda_\gamma = \frac{25k}{21} $, $ \lambda_\delta = \frac{9k}{8} $, где $k$ — некоторая постоянная. Бальмеру удалось записать одну общую формулу для этих четырёх длин волн и предсказать с её помощью существование других линий в спектре водорода. Попробуйте найти эту формулу.

Дано:

Соотношения для длин волн первых четырёх линий в видимом атомном спектре водорода (серия Бальмера):

Линия H$_\alpha$: $\lambda_\alpha = \frac{9k}{5}$

Линия H$_\beta$: $\lambda_\beta = \frac{4k}{3}$

Линия H$_\gamma$: $\lambda_\gamma = \frac{25k}{21}$

Линия H$_\delta$: $\lambda_\delta = \frac{9k}{8}$

где $k$ — некоторая постоянная.

Найти:

Общую эмпирическую формулу, которая описывает все эти четыре длины волны и позволяет предсказать существование других линий в данной серии спектра водорода.

Решение:

Задача заключается в поиске единой математической закономерности, которая объединяет все приведённые выражения для длин волн. Для этого проанализируем числовые коэффициенты при постоянной $k$ для каждой спектральной линии. Давайте свяжем каждую линию ($\alpha, \beta, \gamma, \delta$) с последовательностью целых чисел $n$, начиная с некоторого начального значения.

1. Для первой линии, H$_\alpha$, коэффициент равен $\frac{9}{5}$. Попробуем связать числа в дроби с каким-нибудь целым числом, например, с $n=3$.

Числитель дроби: $9 = 3^2$. Это соответствует $n^2$.

Знаменатель дроби: $5 = 9 - 4 = 3^2 - 2^2$. Это соответствует $n^2 - 2^2$.

Таким образом, для $n=3$ коэффициент можно представить в виде $\frac{n^2}{n^2 - 2^2}$.

2. Для второй линии, H$_\beta$, коэффициент равен $\frac{4}{3}$. Проверим, подходит ли наша гипотеза для следующего целого числа, $n=4$.

Подставим $n=4$ в предполагаемую общую формулу для коэффициента:

$\frac{n^2}{n^2 - 2^2} = \frac{4^2}{4^2 - 2^2} = \frac{16}{16 - 4} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.

Результат полностью совпадает с коэффициентом для линии H$_\beta$.

3. Для третьей линии, H$_\gamma$, коэффициент равен $\frac{25}{21}$. Проверим нашу гипотезу для $n=5$.

$\frac{n^2}{n^2 - 2^2} = \frac{5^2}{5^2 - 2^2} = \frac{25}{25 - 4} = \frac{25}{21}$.

Это значение также в точности совпадает с заданным коэффициентом для линии H$_\gamma$.

4. Для четвертой линии, H$_\delta$, коэффициент равен $\frac{9}{8}$. Проверим гипотезу для $n=6$.

$\frac{n^2}{n^2 - 2^2} = \frac{6^2}{6^2 - 2^2} = \frac{36}{36 - 4} = \frac{36}{32} = \frac{9 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{9}{8}$.

И в этом случае наша гипотеза подтвердилась.

Мы установили, что все четыре длины волны подчиняются единой закономерности. Обобщающая формула, найденная Бальмером, связывает длину волны $\lambda$ с целочисленным параметром $n$, который для данных линий принимает значения $3, 4, 5, 6$.

Ответ:

Общая формула для длин волн спектральных линий в видимой части спектра водорода (серии Бальмера) имеет вид:

$\lambda = k \frac{n^2}{n^2 - 4}$

где $n$ — целое число, принимающее значения $3, 4, 5, 6, \dots$ для линий H$_\alpha$, H$_\beta$, H$_\gamma$, H$_\delta$, $\dots$ соответственно.