Номер 2, страница 308 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Считая известными массу Солнца и радиус орбиты планеты (орбиты планет Солнечной системы близки к круговым), получите выражения для определения орбитальной скорости и центростремительного ускорения планеты. Вычислите значения этих величин для Венеры. Значения массы Солнца и среднего радиуса венерианской орбиты найдите в Интернете.

Вывод выражений для орбитальной скорости и центростремительного ускорения

Для вывода необходимых выражений будем считать, что планета массой $m$ движется по круговой орбите радиусом $R$ вокруг Солнца массой $M_S$. Единственной силой, действующей на планету и удерживающей ее на орбите, является сила гравитационного притяжения Солнца. Эта сила сообщает планете центростремительное ускорение.

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила гравитационного притяжения между Солнцем и планетой равна: $F_g = G \frac{M_S m}{R^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная.

Эта же сила, по второму закону Ньютона, является центростремительной силой: $F_c = m a_c = m \frac{v^2}{R}$ где $v$ — орбитальная скорость планеты, а $a_c$ — ее центростремительное ускорение.

Приравняв оба выражения для силы ($F_g = F_c$), получим основное уравнение движения: $G \frac{M_S m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Для нахождения орбитальной скорости $v$ преобразуем это уравнение. Сократим массу планеты $m$ и радиус $R$ в первой степени: $G \frac{M_S}{R} = v^2$ Отсюда получаем итоговое выражение для скорости: $v = \sqrt{G \frac{M_S}{R}}$

Для нахождения центростремительного ускорения $a_c$ вернемся к равенству $G \frac{M_S m}{R^2} = m a_c$. Сократив массу планеты $m$, получим: $a_c = G \frac{M_S}{R^2}$

Ответ: Выражение для орбитальной скорости: $v = \sqrt{G \frac{M_S}{R}}$. Выражение для центростремительного ускорения: $a_c = G \frac{M_S}{R^2}$.

Расчет значений для Венеры

Дано:

Масса Солнца, $M_S \approx 1.989 \times 10^{30}$ кг

Средний радиус орбиты Венеры, $R_V \approx 108.2 \times 10^6$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Переведем данные в систему СИ:

$R_V = 108.2 \times 10^6 \text{ км} = 108.2 \times 10^9 \text{ м} = 1.082 \times 10^{11}$ м

Найти:

$v_V$ — орбитальная скорость Венеры

$a_{c,V}$ — центростремительное ускорение Венеры

Решение:

Подставим значения для Венеры в полученные ранее формулы.

Вычисление орбитальной скорости Венеры ($v_V$):

$v_V = \sqrt{G \frac{M_S}{R_V}} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{1.989 \times 10^{30} \text{ кг}}{1.082 \times 10^{11} \text{ м}}}$

$v_V \approx \sqrt{\frac{1.327 \times 10^{20}}{1.082 \times 10^{11}}} \text{ м/с} \approx \sqrt{1.226 \times 10^9} \text{ м/с} \approx 35020 \text{ м/с}$

Переводя в километры в секунду: $v_V \approx 35.02 \text{ км/с}$.

Вычисление центростремительного ускорения Венеры ($a_{c,V}$):

$a_{c,V} = G \frac{M_S}{R_V^2} = 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{1.989 \times 10^{30} \text{ кг}}{(1.082 \times 10^{11} \text{ м})^2}$

$a_{c,V} \approx \frac{1.327 \times 10^{20}}{1.171 \times 10^{22}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0.0113 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: Орбитальная скорость Венеры составляет примерно $v_V \approx 35.02 \text{ км/с}$, а ее центростремительное ускорение $a_{c,V} \approx 0.0113 \text{ м/с}^2$.