Страница 108 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Окружность и круг.
Геометрические построения

1. На рисунке 280 точка O — центр окружности, $\angle ABO = 40^\circ$. Найдите угол $BOC$.

2. К окружности с центром O провели касательную $CD$ ($D$ — точка касания). Найдите радиус окружности, если $CO = 16$ см и $\angle COD = 60^\circ$.

3. В окружности с центром O провели диаметры $MN$ и $PK$ (рис. 281). Докажите, что $MK \parallel PN$.

Рис. 280

Рис. 281

4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и биссектрисе, проведённой к основанию.

5. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Контрольная работа № 4

Тема. Окружность и круг.

Геометрические построения

1. На рисунке 280 точка $O$ — центр окружности, $\angle ABO = 40^{\circ}$. Найдите угол $BOC$.

2. К окружности с центром $O$ провели касательную $CD$ ($D$ — точка касания). Найдите радиус окружности, если $CO = 16$ см и $\angle COD = 60^{\circ}$.

3. В окружности с центром $O$ провели диаметры $MN$ и $PK$ (рис. 281). Докажите, что $MK \parallel PN$.

Рис. 280

Рис. 281

4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и биссектрисе, проведённой к основанию.

5. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

1. Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $O$ — центр окружности, а точки $A$ и $B$ лежат на ней, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами. Следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OAB = \angle ABO = 40^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $\angle AOB$ равен $180^\circ - (\angle OAB + \angle ABO) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Так как $AC$ — диаметр, угол $AOC$ является развернутым, и его величина составляет $180^\circ$. Угол $AOC$ состоит из двух углов: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Таким образом, $\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Ответ: $80^\circ$.

2. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OD$ перпендикулярен касательной $CD$, и $\angle ODC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ODC$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике $ODC$ известны гипотенуза $CO = 16$ см и острый угол $\angle COD = 60^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому другой острый угол $\angle DCO = 90^\circ - \angle COD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $OD$, который является радиусом окружности, лежит напротив угла $\angle DCO$, равного $30^\circ$. Следовательно, $OD = \frac{1}{2} CO = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

3. Рассмотрим треугольники $MOK$ и $PON$. Стороны $OM$, $OK$, $ON$ и $OP$ равны между собой, так как все они являются радиусами одной и той же окружности ($OM = OK = ON = OP = r$). Углы $\angle MOK$ и $\angle PON$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении диаметров $MN$ и $PK$. Таким образом, треугольник $MOK$ равен треугольнику $PON$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle MKO = \angle NPO$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $MK$ и $PN$ и секущей $PK$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые $MK$ и $PN$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4. Обозначим данную боковую сторону как $b$, а биссектрису, проведённую к основанию, как $l$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также его высотой и медианой. Построение сводится к построению прямоугольного треугольника по известной гипотенузе ($b$) и катету ($l$). Алгоритм построения: 1. Провести произвольную прямую $a$. 2. Выбрать на ней произвольную точку $D$. 3. Построить прямую $m$, перпендикулярную прямой $a$ и проходящую через точку $D$. 4. На прямой $m$ отложить отрезок $DB$, равный длине биссектрисы $l$. 5. С центром в точке $B$ провести окружность радиусом, равным длине боковой стороны $b$. 6. Точки пересечения этой окружности с прямой $a$ обозначить как $A$ и $C$. 7. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как $AB = BC = b$ (по построению), а $BD$ — высота и биссектриса длиной $l$. Построение возможно только в случае, если $b > l$.

Ответ: Алгоритм построения описан выше.

5. Множество точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми. Искомая точка должна одновременно лежать и на данной окружности, и на одной из этих биссектрис. Таким образом, для решения задачи нужно построить эти две биссектрисы и найти их точки пересечения с окружностью. Количество решений задачи равно количеству таких точек пересечения. Одна прямая может пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или не иметь с ней общих точек. Поскольку у нас две прямые-биссектрисы, то общее число решений может быть 0 (если окружность не пересекает ни одну биссектрису), 1 (касается одной и не пересекает другую), 2 (пересекает одну в двух точках и не пересекает другую, либо касается обеих), 3 (пересекает одну в двух точках и касается другой) или 4 (пересекает обе в двух точках каждая). Таким образом, задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.