Страница 104 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

за курс 7 класса

1. В треугольнике MPK известно, что $\angle M = 64^\circ$, $\angle P = 46^\circ$.

Укажите верное неравенство:

1) $MK > PK$; 3) $MK > PM$;

2) $PK > PM$; 4) $PM > MK$.

2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный (рис. 273), если $AD = EC$ и $\angle BDE = \angle BED$.

3. В треугольнике DEF известно, что $\angle EDF = 68^\circ$, $\angle DEF = 44^\circ$. Биссектриса угла EDF пересекает сторону EF в точке K. Найдите угол DKF.

4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 64 см.

5. Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$). На стороне AB отметили точку K такую, что $KM \parallel BC$. Докажите, что $BK = KM$.

Контрольная работа № 5

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

за курс 7 класса

1. В треугольнике $MPK$ известно, что $\angle M = 64^{\circ}$, $\angle P = 46^{\circ}$. Укажите верное неравенство:

1) $MK > PK$;

2) $PK > PM$;

3) $MK > PM$;

4) $PM > MK$.

2. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный (рис. 273), если $AD = EC$ и $\angle BDE = \angle BED$.

3. В треугольнике $DEF$ известно, что $\angle EDF = 68^{\circ}$, $\angle DEF = 44^{\circ}$. Биссектриса угла $EDF$ пересекает сторону $EF$ в точке $K$. Найдите угол $DKF$.

4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3 : 2$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $64$ см.

5. Отрезок $BM$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$). На стороне $AB$ отметили точку $K$ такую, что $KM \parallel BC$. Докажите, что $BK = KM$.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину угла $K$ в треугольнике $MPK$:
$\angle K = 180^\circ - \angle M - \angle P = 180^\circ - 64^\circ - 46^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы треугольника:
$\angle K = 70^\circ$, $\angle M = 64^\circ$, $\angle P = 46^\circ$.
Следовательно, $\angle K > \angle M > \angle P$.
Стороны, лежащие против этих углов, соотносятся так же:
$PM > PK > MK$.
Проверим предложенные неравенства:
1) $MK > PK$ — неверно.
2) $PK > PM$ — неверно.
3) $MK > PM$ — неверно.
4) $PM > MK$ — верно.
Ответ: 4) $PM > MK$.

2. Рассмотрим треугольник $BDE$. По условию $\angle BDE = \angle BED$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $BDE$ — равнобедренный с основанием $DE$, и его боковые стороны равны: $BD = BE$.
Рассмотрим углы $\angle BDA$ и $\angle BDE$. Они являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $\angle BDA = 180^\circ - \angle BDE$.
Аналогично, углы $\angle BEC$ и $\angle BED$ являются смежными: $\angle BEC = 180^\circ - \angle BED$.
Так как по условию $\angle BDE = \angle BED$, то и $\angle BDA = \angle BEC$.
Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE$. В них:
1) $AD = EC$ по условию.
2) $BD = BE$ как боковые стороны равнобедренного треугольника $BDE$.
3) $\angle BDA = \angle BEC$ по доказанному выше.
Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = BC$.
По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $DFE$ в треугольнике $DEF$:
$\angle DFE = 180^\circ - \angle EDF - \angle DEF = 180^\circ - 68^\circ - 44^\circ = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.
$DK$ — биссектриса угла $EDF$, значит, она делит этот угол пополам:
$\angle FDK = \angle EDK = \frac{\angle EDF}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$.
Рассмотрим треугольник $DKF$. Сумма его углов также равна $180^\circ$. Два угла нам известны: $\angle DFK = \angle DFE = 68^\circ$ и $\angle FDK = 34^\circ$.
Найдем третий угол $\angle DKF$:
$\angle DKF = 180^\circ - \angle DFK - \angle FDK = 180^\circ - 68^\circ - 34^\circ = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.
Ответ: $78^\circ$.

4. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно.
По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $3:2$, считая от вершины угла при основании (например, от вершины $A$).
Тогда $AM:MB = 3:2$. Пусть $AM = 3x$, а $MB = 2x$.
Длина боковой стороны $AB = AM + MB = 3x + 2x = 5x$. Так как треугольник равнобедренный, то $BC = AB = 5x$.
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны:
- Из точки $A$: $AP = AM = 3x$.
- Из точки $B$: $BN = BM = 2x$.
- Из точки $C$: $CP = CN$.
Найдем длину отрезка $CN$: $CN = BC - BN = 5x - 2x = 3x$.
Следовательно, $CP = 3x$.
Длина основания $AC = AP + CP = 3x + 3x = 6x$.
Периметр треугольника $P = AB + BC + AC = 5x + 5x + 6x = 16x$.
По условию, периметр равен 64 см.
$16x = 64$
$x = \frac{64}{16} = 4$ см.
Теперь найдем длины сторон:
Боковые стороны: $AB = BC = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.
Основание: $AC = 6x = 6 \cdot 4 = 24$ см.
Ответ: Боковые стороны равны 20 см, основание — 24 см.

5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) $BM$ является медианой, проведенной к основанию $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
Следовательно, $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$, и $\angle ABM = \angle CBM$.
По условию $KM \parallel BC$. Прямая $BM$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle KMB$ и $\angle CBM$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle KMB = \angle CBM$.
Мы получили, что $\angle ABM = \angle CBM$ и $\angle KMB = \angle CBM$. Отсюда следует, что $\angle ABM = \angle KMB$.
Угол $\angle ABM$ это тот же самый угол, что и $\angle KBM$. Таким образом, в треугольнике $BKM$ два угла равны: $\angle KBM = \angle KMB$.
По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, $\triangle BKM$ — равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны.
$BK$ лежит против угла $\angle KMB$, а $KM$ лежит против угла $\angle KBM$.
Значит, $BK = KM$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $BK = KM$.