Страница 106 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Треугольники

1. Докажите равенство треугольни-ков ABD и CDB (рис. 275), если $\angle ABD = \angle CDB$ и $AB = CD$.

2. Найдите стороны равнобедренно-го треугольника, если его периметр равен 76 см, а основание на 14 см меньше боковой стороны.

3. На рисунке 276 $\angle ABE = \angle CBE$, $\angle AEB = \angle CEB$. Докажите равенство отрезков $AD$ и $CD$.

4. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $\angle BAK = \angle BCM$. Докажите, что $BM = BK$.

5. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $AB$ в точке $K$. Найдите сторону $AB$ треугольника $ABC$, если $BC = 7$ см, а периметр треугольника $BKC$ равен 23 см.

Контрольная работа № 2

Тема. Треугольники

1. Докажите равенство треугольников $ABD$ и $CDB$ (рис. 275), если $\angle ABD = \angle CDB$ и $AB = CD$.

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 76 см, а основание на 14 см меньше боковой стороны.

3. На рисунке 276 $\angle ABE = \angle CBE$, $\angle AEB = \angle CEB$. Докажите равенство отрезков $AD$ и $CD$.

4. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $\angle BAK = \angle BCM$. Докажите, что $BM = BK$.

5. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $AB$ в точке $K$. Найдите сторону $AB$ треугольника $ABC$, если $BC = 7$ см, а периметр треугольника $BKC$ равен 23 см.

1.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$.

По условию задачи нам дано:

1. $AB = CD$
2. $\angle ABD = \angle CDB$

Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $ABD$ и $CDB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $AB = CD$ (по условию)
• $BD$ — общая сторона
• $\angle ABD = \angle CDB$ (угол между этими сторонами, по условию)

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CDB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABD$ и $CDB$ доказано.

2.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны, то есть их длины по $x$ см.

По условию, основание на 14 см меньше боковой стороны, значит, длина основания равна $(x - 14)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр $P$ равен 76 см.

Составим уравнение:

$x + x + (x - 14) = 76$

$3x - 14 = 76$

$3x = 76 + 14$

$3x = 90$

$x = 90 / 3$

$x = 30$

Таким образом, длина боковой стороны равна 30 см.

Найдем длину основания:

$x - 14 = 30 - 14 = 16$ см.

Стороны треугольника равны 30 см, 30 см и 16 см.

Ответ: 30 см, 30 см, 16 см.

3.

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $CBE$.

По условию задачи нам дано:

1. $\angle ABE = \angle CBE$
2. $\angle AEB = \angle CEB$

Сторона $BE$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle ABE = \triangle CBE$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $ABE$ и $CBE$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = CB$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$.

1. $AB = CB$ (доказано выше)
2. $\angle ABD = \angle CBD$ (так как $\angle ABE = \angle CBE$ по условию, а точки E и D лежат на одной прямой с точкой B)
3. $BD$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ABD$ и $CBD$ следует равенство их соответствующих сторон: $AD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $AD$ и $CD$ доказано.

4.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Это означает, что $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим треугольники $AMC$ и $CKA$.

1. $AC$ — общая сторона.
2. $\angle MAC = \angle KCA$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$, то есть $\angle BAC = \angle BCA$).
3. Найдем углы $\angle KAC$ и $\angle MCA$.
   $\angle KAC = \angle BAC - \angle BAK$
   $\angle MCA = \angle BCA - \angle BCM$
   Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$ и по условию $\angle BAK = \angle BCM$, то и разности равны: $\angle KAC = \angle MCA$.

Таким образом, $\triangle AMC = \triangle CKA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = CK$.

Мы знаем, что $AB = BC$ (из условия) и $AM = CK$ (из доказанного). Точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Найдем длины отрезков $BM$ и $BK$:

$BM = AB - AM$

$BK = BC - CK$

Так как правые части этих выражений равны ($AB=BC$ и $AM=CK$), то равны и левые части: $BM = BK$.

Ответ: Равенство $BM = BK$ доказано.

5.

Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC$. По определению, серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему. Точка $K$ лежит на стороне $AB$ и на серединном перпендикуляре к $AC$.

Основное свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Поскольку точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, то она равноудалена от точек $A$ и $C$, то есть $KA = KC$.

Периметр треугольника $BKC$ равен сумме длин его сторон:

$P_{BKC} = BK + KC + BC$

По условию $P_{BKC} = 23$ см и $BC = 7$ см. Подставим эти значения в формулу:

$23 = BK + KC + 7$

Выразим сумму $BK + KC$:

$BK + KC = 23 - 7$

$BK + KC = 16$ см.

Так как мы установили, что $KA = KC$, заменим в последнем равенстве $KC$ на $KA$:

$BK + KA = 16$ см.

Точка $K$ лежит на стороне $AB$, следовательно, длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KB$:

$AB = AK + KB$.

Отсюда следует, что $AB = 16$ см.

Ответ: 16 см.