Страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

274. Доказать, что если $x > 0$, то:

1) $\ln(1+x) < x$;

2) $\ln(1+x) > \frac{x}{x+1}$.

1) Для доказательства неравенства $\ln(1 + x) < x$ при $x > 0$, рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = x - \ln(1 + x)$. Наша задача — показать, что $f(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Найдем производную функции $f(x)$ по $x$ на промежутке $(0, +\infty)$:
$f'(x) = (x - \ln(1 + x))' = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$.

Поскольку по условию $x > 0$, и числитель $x$, и знаменатель $1+x$ положительны. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всем интервале $(0, +\infty)$.

Так как производная функции положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на данном интервале.

Теперь рассмотрим значение функции в точке $x=0$, которая является левой границей области определения:
$f(0) = 0 - \ln(1+0) = 0 - \ln(1) = 0$.

Поскольку $f(0)=0$ и функция $f(x)$ строго возрастает при $x>0$, то для любого $x>0$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$, то есть $f(x) > 0$.

Таким образом, $x - \ln(1+x) > 0$, что и доказывает исходное неравенство $\ln(1+x) < x$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства $\ln(1 + x) > \frac{x}{x+1}$ при $x > 0$, рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = \ln(1 + x) - \frac{x}{x+1}$. Наша задача — показать, что $g(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Найдем производную функции $g(x)$ по $x$ на промежутке $(0, +\infty)$:
$g'(x) = (\ln(1 + x) - \frac{x}{x+1})' = \frac{1}{1+x} - \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(x+1)^2}$.

Приводя к общему знаменателю, получаем:
$g'(x) = \frac{(x+1) - 1}{(x+1)^2} = \frac{x}{(x+1)^2}$.

При $x>0$ числитель $x$ положителен, а знаменатель $(x+1)^2$ также положителен. Следовательно, производная $g'(x) > 0$ на всем интервале $(0, +\infty)$.

Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает на данном интервале.

Рассмотрим значение функции в точке $x=0$:
$g(0) = \ln(1+0) - \frac{0}{0+1} = \ln(1) - 0 = 0$.

Поскольку $g(0)=0$ и функция $g(x)$ строго возрастает при $x>0$, то для любого $x>0$ будет выполняться неравенство $g(x) > g(0)$, то есть $g(x) > 0$.

Таким образом, $\ln(1 + x) - \frac{x}{x+1} > 0$, что и доказывает исходное неравенство $\ln(1 + x) > \frac{x}{x+1}$.

Ответ: Неравенство доказано.