Страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Написать уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sin 2x$ в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

По условию задачи имеем:
Функция $f(x) = \sin(2x)$.
Абсцисса точки касания $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = \sin(-\frac{\pi}{3})$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:
$f(x_0) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = 2\cos(-\frac{\pi}{3})$
Используя свойство четности косинуса $\cos(-a) = \cos(a)$, получаем:
$f'(x_0) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = -\frac{\pi}{6}$ в общее уравнение касательной:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot (x - (-\frac{\pi}{6}))$
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + x + \frac{\pi}{6}$
Запишем уравнение в более привычном виде:
$y = x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $y = x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Найти предел последовательности ${x_n}$, если

$x_n = \frac{2n^4 + n^2 - 4}{3n^4 - n^3 + 2}$

Для нахождения предела последовательности, заданной в виде отношения двух многочленов, когда $n \to \infty$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо разделить и числитель, и знаменатель дроби на самую высокую степень переменной $n$, встречающуюся в выражении. В данном случае это $n^4$.

Запишем предел последовательности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^4 + n^2 - 4}{3n^4 - n^3 + 2}$

Теперь разделим каждый член числителя и знаменателя на $n^4$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^4}{n^4} + \frac{n^2}{n^4} - \frac{4}{n^4}}{\frac{3n^4}{n^4} - \frac{n^3}{n^4} + \frac{2}{n^4}}$

После упрощения дробей получим:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2} - \frac{4}{n^4}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^4}}$

Теперь воспользуемся основным свойством пределов последовательностей, согласно которому предел дроби вида $\frac{c}{n^k}$ при $n \to \infty$ и $k > 0$ равен нулю. Таким образом:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^4} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^4} = 0$

Подставляя эти нулевые пределы в наше выражение, получаем:

$\frac{2 + 0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3}$

Стоит отметить, что когда степени многочленов в числителе и знаменателе равны, предел их отношения при $n \to \infty$ равен отношению коэффициентов при старших степенях. В нашем случае это $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2. Выяснить, является ли непрерывной в точке $x = 3$ функция

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3} & \text{при } x \neq 3, \\ 2 & \text{при } x = 3. \end{cases}$

Для того чтобы выяснить, является ли функция непрерывной в точке $x=3$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x=3$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to 3} f(x)$.
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке: $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$.

Проверим эти условия последовательно:

1. Нахождение значения функции в точке.

Согласно определению функции, при $x=3$ значение функции равно 2.

$f(3) = 2$

Функция определена в точке $x=3$. Первое условие выполнено.

2. Нахождение предела функции в точке.

Для нахождения предела при $x \to 3$ мы используем ту часть определения функции, которая задана для $x \ne 3$.

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2-6x+9}{x-3}$

При подстановке значения $x=3$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

$\frac{3^2 - 6 \cdot 3 + 9}{3-3} = \frac{9 - 18 + 9}{0} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть эту неопределенность, упростим выражение. Числитель $x^2-6x+9$ является полным квадратом разности: $(x-3)^2$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)^2}{x-3}$

Поскольку при вычислении предела $x$ стремится к 3, но не равно 3 ($x \ne 3$), мы можем сократить дробь на $(x-3)$.

$\lim_{x \to 3} (x-3) = 3 - 3 = 0$

Предел функции в точке $x=3$ существует и равен 0. Второе условие выполнено.

3. Сравнение значения функции и ее предела в точке.

Теперь сравним значение функции в точке $x=3$ с ее пределом в этой точке.

$f(3) = 2$

$\lim_{x \to 3} f(x) = 0$

Поскольку $2 \ne 0$, то $f(3) \ne \lim_{x \to 3} f(x)$.

Третье условие непрерывности не выполнено. Так как предел функции в точке существует, но не равен значению функции в этой точке, то функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке $x=3$.

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x=3$.

3. Найти значения $x$, при которых значения производной функции

$f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$

равны 0.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, необходимо сначала найти саму производную, а затем решить уравнение $f'(x)=0$.

Дана функция: $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а выражение под знаком натурального логарифма — строго положительным ($x+2 > 0$, то есть $x > -2$). Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ для функции $f(x)$ есть $x \in [0, \infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования суммы (разности) и производные стандартных функций:

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (2\sqrt{x} - 3\ln(x+2))' = (2\sqrt{x})' - (3\ln(x+2))' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot (x+2)'$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2}$

Область определения производной $f'(x)$ — $x > 0$, так как $x$ находится в знаменателе под корнем.

3. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2} = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{x+2}$

По основному свойству пропорции (или умножив обе части на $\sqrt{x}(x+2)$, что допустимо, так как $x > 0$):

$1 \cdot (x+2) = 3 \cdot \sqrt{x}$

$x+2 = 3\sqrt{x}$

Для решения этого иррационального уравнения возведем обе части в квадрат. Поскольку в области определения ($x>0$) обе части уравнения ($x+2$ и $3\sqrt{x}$) положительны, это преобразование является равносильным.

$(x+2)^2 = (3\sqrt{x})^2$

$x^2 + 4x + 4 = 9x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни легко подбираются:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Оба найденных корня ($1$ и $4$) удовлетворяют области определения производной ($x>0$). Следовательно, они являются искомыми значениями $x$.

Ответ: $1; 4$.

4. Написать уравнение той касательной к графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5$, которая параллельна прямой $y = 3x - 2$.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ используется формула: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию задачи, искомая касательная параллельна прямой $y = 3x - 2$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент (наклон) прямой $y = 3x - 2$ равен $3$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной $k$ также равен $3$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке. Таким образом, $k = f'(x_0) = 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5$:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5)' = \frac{1}{3} \cdot (3x^2) - 2x + 0 = x^2 - 2x$.

Теперь найдем абсциссу точки (или точек) касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 3$:
$x_0^2 - 2x_0 = 3$
$x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-3$. Отсюда получаем корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, существует две точки на графике функции, в которых касательная параллельна данной прямой. Найдем уравнение для каждой из них.

Для точки касания с абсциссой $x_0 = 3$
Найдем ординату этой точки, подставив $x_0=3$ в исходную функцию:
$y_0 = f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 + 5 = \frac{27}{3} - 9 + 5 = 9 - 9 + 5 = 5$.
Точка касания — $(3, 5)$.
Подставляем известные значения $x_0=3$, $y_0=5$ и $k=3$ в уравнение касательной:
$y - 5 = 3(x - 3)$
$y - 5 = 3x - 9$
$y = 3x - 4$.

Для точки касания с абсциссой $x_0 = -1$
Найдем ординату этой точки, подставив $x_0=-1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + 5 = -\frac{1}{3} - 1 + 5 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$.
Точка касания — $(-1, \frac{11}{3})$.
Подставляем известные значения $x_0=-1$, $y_0=\frac{11}{3}$ и $k=3$ в уравнение касательной:
$y - \frac{11}{3} = 3(x - (-1))$
$y - \frac{11}{3} = 3(x + 1)$
$y - \frac{11}{3} = 3x + 3$
$y = 3x + 3 + \frac{11}{3} = 3x + \frac{9}{3} + \frac{11}{3} = 3x + \frac{20}{3}$.

Ответ: Существуют две касательные, удовлетворяющие условию: $y = 3x - 4$ и $y = 3x + \frac{20}{3}$.