Номер 3, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 3, страница 103.
№3 (с. 103)
Условие. №3 (с. 103)
скриншот условия

3. Найти значения $x$, при которых значения производной функции
$f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$
равны 0.
Решение 1. №3 (с. 103)

Решение 2. №3 (с. 103)

Решение 3. №3 (с. 103)
Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, необходимо сначала найти саму производную, а затем решить уравнение $f'(x)=0$.
Дана функция: $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$.
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а выражение под знаком натурального логарифма — строго положительным ($x+2 > 0$, то есть $x > -2$). Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ для функции $f(x)$ есть $x \in [0, \infty)$.
2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования суммы (разности) и производные стандартных функций:
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$
Тогда производная функции $f(x)$ будет:
$f'(x) = (2\sqrt{x} - 3\ln(x+2))' = (2\sqrt{x})' - (3\ln(x+2))' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot (x+2)'$
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2}$
Область определения производной $f'(x)$ — $x > 0$, так как $x$ находится в знаменателе под корнем.
3. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$f'(x) = 0$
$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2} = 0$
Перенесем второе слагаемое в правую часть:
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{x+2}$
По основному свойству пропорции (или умножив обе части на $\sqrt{x}(x+2)$, что допустимо, так как $x > 0$):
$1 \cdot (x+2) = 3 \cdot \sqrt{x}$
$x+2 = 3\sqrt{x}$
Для решения этого иррационального уравнения возведем обе части в квадрат. Поскольку в области определения ($x>0$) обе части уравнения ($x+2$ и $3\sqrt{x}$) положительны, это преобразование является равносильным.
$(x+2)^2 = (3\sqrt{x})^2$
$x^2 + 4x + 4 = 9x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни легко подбираются:
$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Оба найденных корня ($1$ и $4$) удовлетворяют области определения производной ($x>0$). Следовательно, они являются искомыми значениями $x$.
Ответ: $1; 4$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 103 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 103), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.