Номер 3, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 3, страница 103.

Условие.

3. Найти значения $x$, при которых значения производной функции

$f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$

равны 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, необходимо сначала найти саму производную, а затем решить уравнение $f'(x)=0$.

Дана функция: $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а выражение под знаком натурального логарифма — строго положительным ($x+2 > 0$, то есть $x > -2$). Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ для функции $f(x)$ есть $x \in [0, \infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования суммы (разности) и производные стандартных функций:

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (2\sqrt{x} - 3\ln(x+2))' = (2\sqrt{x})' - (3\ln(x+2))' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot (x+2)'$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2}$

Область определения производной $f'(x)$ — $x > 0$, так как $x$ находится в знаменателе под корнем.

3. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2} = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{x+2}$

По основному свойству пропорции (или умножив обе части на $\sqrt{x}(x+2)$, что допустимо, так как $x > 0$):

$1 \cdot (x+2) = 3 \cdot \sqrt{x}$

$x+2 = 3\sqrt{x}$

Для решения этого иррационального уравнения возведем обе части в квадрат. Поскольку в области определения ($x>0$) обе части уравнения ($x+2$ и $3\sqrt{x}$) положительны, это преобразование является равносильным.

$(x+2)^2 = (3\sqrt{x})^2$

$x^2 + 4x + 4 = 9x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни легко подбираются:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Оба найденных корня ($1$ и $4$) удовлетворяют области определения производной ($x>0$). Следовательно, они являются искомыми значениями $x$.

Ответ: $1; 4$.