Номер 2, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 2, страница 102.

Условие.

2. Найти производную функции:

1) $ \frac{2}{x} + 4\sqrt{x} - e^x; $

2) $ (3x-5)^3; $

3) $ 3\sin 2x \cdot \cos x; $

4) $ \frac{x^3}{x^2+5}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{2}{x} + 4\sqrt{x} - e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций $(u+v-w)' = u' + v' - w'$, а также табличными производными.
Представим функцию в виде, удобном для дифференцирования: $y = 2x^{-1} + 4x^{1/2} - e^x$.
Теперь найдем производную каждого слагаемого, используя правило степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производную экспоненты $(e^x)'=e^x$:
$y' = (2x^{-1})' + (4x^{1/2})' - (e^x)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} - e^x = -2x^{-2} + 2x^{-1/2} - e^x$.
Перепишем результат в исходном виде:
$y' = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}} - e^x$.
Ответ: $y' = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}} - e^x$

2) Функция $y = (3x-5)^3$ является сложной. Для ее дифференцирования применим цепное правило $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Внешняя функция $f(u) = u^3$, ее производная $f'(u) = 3u^2$.
Внутренняя функция $g(x) = 3x-5$, ее производная $g'(x) = 3$.
Подставляем в формулу:
$y' = 3(3x-5)^2 \cdot (3x-5)' = 3(3x-5)^2 \cdot 3 = 9(3x-5)^2$.
Ответ: $y' = 9(3x-5)^2$

3) Для нахождения производной функции $y = 3\sin(2x) \cdot \cos(x)$ используем правило дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = 3\sin(2x)$ и $v = \cos(x)$.
Найдем производную $u$. Это сложная функция, поэтому применяем цепное правило:
$u' = (3\sin(2x))' = 3 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 3\cos(2x) \cdot 2 = 6\cos(2x)$.
Найдем производную $v$:
$v' = (\cos x)' = -\sin x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:
$y' = u'v + uv' = (6\cos(2x)) \cdot \cos(x) + (3\sin(2x)) \cdot (-\sin x) = 6\cos(2x)\cos(x) - 3\sin(2x)\sin(x)$.
Ответ: $y' = 6\cos(2x)\cos(x) - 3\sin(2x)\sin(x)$

4) В данном случае мы имеем частное двух функций $y = \frac{x^3}{x^2 + 5}$, поэтому применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть числитель $u = x^3$, а знаменатель $v = x^2 + 5$.
Найдем их производные:
$u' = (x^3)' = 3x^2$.
$v' = (x^2+5)' = 2x$.
Подставляем в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(3x^2)(x^2+5) - (x^3)(2x)}{(x^2+5)^2}$.
Упростим выражение в числителе:
$y' = \frac{3x^4 + 15x^2 - 2x^4}{(x^2+5)^2} = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2+5)^2}$.
Можно вынести общий множитель $x^2$ в числителе:
$y' = \frac{x^2(x^2 + 15)}{(x^2+5)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2+5)^2}$