Номер 21, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 21, страница 102.

Условие.

21. Какую функцию называют бесконечно малой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при $x$, стремящемся к некоторой предельной точке $a$ (где $a$ может быть числом или одним из символов бесконечности: $+\infty$, $-\infty$, $\infty$), называется функция $f(x)$, предел которой в этой точке равен нулю.

Математически это записывается как: $$ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $$

Это означает, что значения функции $f(x)$ можно сделать сколь угодно близкими к нулю, выбирая значения $x$ достаточно близко к $a$.

Формальное определение (на языке «эпсилон-дельта»):

1. Для конечной предельной точки $a$. Функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x \to a$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство: $$|f(x)| < \epsilon$$

2. Для предельной точки на бесконечности. Функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x \to \infty$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ существует такое число $M > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $|x| > M$, выполняется неравенство: $$|f(x)| < \epsilon$$

Примеры:

• Функция $f(x) = x^2$ является бесконечно малой при $x \to 0$, так как $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$.
• Функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является бесконечно малой при $x \to \infty$ (а также при $x \to -\infty$), так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.
• Функция $f(x) = x-5$ является бесконечно малой при $x \to 5$, так как $\lim_{x \to 5} (x-5) = 0$.

Важно понимать, что "бесконечно малая" — это характеристика поведения функции в окрестности определённой точки, а не свойство функции в целом.

Понятие бесконечно малой тесно связано с общим определением предела. Число $L$ является пределом функции $f(x)$ при $x \to a$ тогда и только тогда, когда разность $f(x) - L$ является бесконечно малой функцией при $x \to a$.

Ответ: Бесконечно малой функцией при $x \to a$ называется функция, предел которой в точке $a$ равен нулю.