Номер 16, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 16, страница 102.

Условие.

16. Какая функция называется непрерывной в точке $a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Интуитивно, функция является непрерывной в точке $a$, если её график в окрестности этой точки можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Это означает, что график является сплошной линией без разрывов, скачков или проколов в данной точке.
В математическом анализе существует несколько эквивалентных строгих определений непрерывности функции в точке.

Определение 1 (по Гейне, или на языке пределов)

Это наиболее часто используемое определение. Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если предел функции при $x$, стремящемся к $a$, существует и равен значению функции в этой точке.
Формально это записывается так: $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$ Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы одновременно соблюдались три условия:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $a$ (то есть существует значение $f(a)$).
2. Функция $f(x)$ имеет конечный предел в точке $a$. Это, в свою очередь, означает, что левый и правый пределы существуют и равны между собой: $\lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x)$.
3. Этот предел равен значению функции в точке $a$.

Определение 2 (по Коши, или на языке $\varepsilon-\delta$)

Это наиболее строгое и фундаментальное определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) найдётся такое положительное число $\delta$ (дельта), что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $|x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$.
На языке логических символов: $$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ \forall x \in D(f), \ (|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon) $$ Геометрически это означает, что для любой $\varepsilon$-окрестности точки $f(a)$ можно найти такую $\delta$-окрестность точки $a$, что все значения функции для $x$ из этой $\delta$-окрестности попадут в заданную $\varepsilon$-окрестность.

Определение 3 (на языке приращений)

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если бесконечно малому приращению аргумента $\Delta x$ в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции $\Delta y$.
Здесь приращение аргумента $\Delta x = x - a$, а соответствующее ему приращение функции $\Delta y = f(x) - f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)$.
Условие непрерывности записывается как: $$ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 $$ Это определение является, по сути, переформулировкой первого определения.

Ответ: Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если она определена в окрестности этой точки (включая саму точку $a$) и предел функции при стремлении $x$ к $a$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.