Номер 10, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 10, страница 102.

Условие.

10. Чему равна производная функции $y = x^p (p \in R)$; $y = \sin x$; $y = \cos x$; $y = e^x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

y = $x^p$ ($p \in \mathbb{R}$)

Для нахождения производной степенной функции $y = x^p$, где $p$ — любое действительное число, используется общее правило дифференцирования, известное как правило для степенной функции. Согласно этому правилу, производная от $x$ в степени $n$ равна произведению показателя степени $n$ на $x$ в степени $n-1$.

Формула выглядит следующим образом:

$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Применяя эту формулу к нашей функции, где показатель степени равен $p$, получаем:

$y' = (x^p)' = p \cdot x^{p-1}$

Эта формула является одной из фундаментальных в дифференциальном исчислении и применима для любого действительного $p$, при котором функция и её производная определены.

Ответ: $y' = p \cdot x^{p-1}$

y = sin x

Производная тригонометрической функции $y = \sin x$ является стандартной и относится к табличным производным. Её находят, используя определение производной через предел, и результат является основной формулой.

Производная функции синус равна функции косинус:

$y' = (\sin x)' = \cos x$

Это означает, что тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = \sin x$ в любой точке $x_0$ равен значению $\cos(x_0)$.

Ответ: $y' = \cos x$

y = cos x

Производная функции $y = \cos x$, как и производная синуса, является табличной. Она также выводится из определения производной.

Производная функции косинус равна функции синус, взятой с противоположным знаком:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

Важно помнить о знаке "минус" в этой формуле, что является частым источником ошибок. Тангенс угла наклона касательной к графику $y = \cos x$ в точке $x_0$ равен $-\sin(x_0)$.

Ответ: $y' = -\sin x$

y = $e^x$

Экспоненциальная функция $y = e^x$, где $e$ — это число Эйлера ($e \approx 2.71828...$), обладает уникальным свойством в дифференциальном исчислении. Эта функция является единственной (с точностью до постоянного множителя), производная которой равна самой функции.

Формула для её производной очень проста:

$y' = (e^x)' = e^x$

Это фундаментальное свойство делает экспоненту центральной функцией в изучении дифференциальных уравнений и многих других областей математики и естественных наук.

Ответ: $y' = e^x$