Номер 15, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 15, страница 102.

Условие.

15. Что называется пределом функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Предел функции — это одно из фундаментальных понятий математического анализа, которое описывает поведение функции вблизи определённой точки. Говоря простыми словами, предел функции $f(x)$ при стремлении аргумента $x$ к точке $a$ — это значение, к которому неограниченно приближаются значения функции $f(x)$, когда $x$ становится всё ближе к $a$. При этом значение самой функции в точке $a$ не имеет значения для определения предела; функция может быть даже не определена в этой точке.

Существует два основных, эквивалентных друг другу, формальных определения предела функции.

Определение по Коши (на языке «эпсилон-дельта»)

Это определение является наиболее строгим и часто используется в доказательствах теорем анализа.

Число $L$ называется пределом функции $y = f(x)$ в точке $a$, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\varepsilon$ («эпсилон») существует такое положительное число $\delta$ («дельта»), что для всех аргументов $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Символически это записывается так:
$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ \forall x \ (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon)$

Геометрический смысл: Какую бы узкую горизонтальную полосу шириной $2\varepsilon$ мы ни взяли вокруг прямой $y=L$, мы всегда сможем найти такой узкий вертикальный интервал (проколотую $\delta$-окрестность точки $a$) вокруг точки $x=a$, что все точки графика функции внутри этого интервала будут лежать в пределах указанной горизонтальной полосы.

Ответ: По определению Коши, число $L$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любого положительного $\varepsilon$ найдется такое положительное $\delta$, что из $0 < |x-a| < \delta$ следует $|f(x)-L| < \varepsilon$.

Определение по Гейне (на языке последовательностей)

Это определение связывает понятие предела функции с понятием предела числовой последовательности, что бывает удобно в некоторых приложениях.

Число $L$ называется пределом функции $y = f(x)$ в точке $a$, если для любой последовательности $\{x_n\}$ значений аргумента, которая сходится к $a$ (причем $x_n \neq a$ для всех $n$), соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к числу $L$.

Символически это записывается так:
$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \ (\lim_{n \to \infty} x_n = a, \forall n, x_n \neq a) \implies \lim_{n \to \infty} f(x_n) = L$

Смысл определения: Каким бы путем (по какой бы последовательности точек) мы ни приближались к точке $a$, значения функции будут стремиться к одному и тому же числу $L$. Если можно найти две разные последовательности, сходящиеся к $a$, для которых значения функции сходятся к разным пределам, то предел функции в точке $a$ не существует.

Ответ: По определению Гейне, число $L$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к $a$ (где $x_n \neq a$), последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $L$.