Номер 12, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 12, страница 102.

Условие.

12. Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$, проходящей через точку $(x_0; y_0)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом. Общий вид такого уравнения:
$y = kx + b$
где $k$ — это заданный угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью OY (так называемый y-перехват).

В условии задачи нам даны угловой коэффициент $k$ и точка $M_0(x_0; y_0)$, через которую проходит искомая прямая. Поскольку точка $M_0$ лежит на прямой, её координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Это значит, что если мы подставим $x = x_0$ и $y = y_0$ в общее уравнение, мы получим верное равенство:
$y_0 = kx_0 + b$

Из этого равенства мы можем выразить неизвестную величину $b$ через известные нам $k$, $x_0$ и $y_0$:
$b = y_0 - kx_0$

Теперь, зная $b$, мы можем подставить это выражение обратно в исходное общее уравнение прямой $y = kx + b$. Это позволит нам получить уравнение, связывающее текущие координаты $x$ и $y$ любой точки на прямой через заданные параметры $k$, $x_0$ и $y_0$:
$y = kx + (y_0 - kx_0)$

Обычно это уравнение записывают в более удобной, канонической форме. Для этого перенесем $y_0$ в левую часть уравнения:
$y - y_0 = kx - kx_0$
И вынесем $k$ за скобки в правой части:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ и имеющей угловой коэффициент $k$. Оно называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту.

Ответ: $y - y_0 = k(x - x_0)$