Номер 17, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 17, страница 102.

Условие.

17. Как найти производную сложной функции? обратной функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Как найти производную сложной функции?

Сложной функцией (или композицией функций) называется функция вида $y = f(g(x))$. В этой записи $f$ — это внешняя функция, а $g(x)$ — внутренняя функция.

Для нахождения производной сложной функции используется правило дифференцирования сложной функции (также известное как цепное правило). Оно гласит: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу (внутренней функции) на производную внутренней функции по независимой переменной.

Формула производной сложной функции:
$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Чтобы найти производную, нужно:

1. Определить внешнюю функцию $f$ и внутреннюю $g$.
2. Найти производную внешней функции $f'(u)$, где $u$ — её аргумент.
3. Найти производную внутренней функции $g'(x)$.
4. Подставить в производную внешней функции $f'$ вместо её аргумента $u$ внутреннюю функцию $g(x)$, получив $f'(g(x))$.
5. Умножить результат на производную внутренней функции $g'(x)$.

Пример: Найти производную функции $y = \cos(x^3)$.
Здесь внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $g(x) = x^3$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Применяем формулу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3)$.

Ответ: Производная сложной функции $y=f(g(x))$ вычисляется по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, то есть как произведение производной внешней функции (взятой по внутренней функции) на производную внутренней функции.

Как найти производную обратной функции?

Пусть даны две взаимно обратные функции: $y=f(x)$ и $x=g(y)$. Это означает, что $g(f(x)) = x$ и $f(g(y)) = y$.

Теорема о производной обратной функции гласит: если функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и её производная $f'(x_0) \neq 0$, а обратная ей функция $x=g(y)$ непрерывна в точке $y_0 = f(x_0)$, то обратная функция также дифференцируема в точке $y_0$, и её производная связана с производной прямой функции следующим соотношением:

$g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$

Эту формулу также можно записать в других обозначениях:
$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} $ или $x_y' = \frac{1}{y_x'}$.

Это означает, что производная обратной функции в некоторой точке равна единице, деленной на производную исходной функции в соответствующей точке.

Пример: Найти производную функции $y = \arcsin x$.
Эта функция является обратной к функции $x = \sin y$ (на соответствующем интервале). Здесь $y=f(x)=\arcsin x$ и $x=g(y)=\sin y$.
Мы хотим найти $f'(x) = (\arcsin x)'$.
Найдём производную "прямой" функции $x=\sin y$ по её аргументу $y$:
$x_y' = g'(y) = (\sin y)' = \cos y$.
Теперь используем формулу для производной обратной функции:
$y_x' = f'(x) = \frac{1}{x_y'} = \frac{1}{\cos y}$.
Чтобы выразить производную через $x$, нужно выразить $\cos y$ через $x$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и зная, что $x = \sin y$, получаем:
$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
(Знак плюс перед корнем выбирается потому, что для главной ветви арксинуса $y \in [-\pi/2, \pi/2]$, а на этом промежутке $\cos y \ge 0$).
Следовательно, $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

Ответ: Производная обратной функции $x=g(y)$ равна обратной величине производной прямой функции $y=f(x)$, то есть $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$, где $x=g(y)$.