Номер 14, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 14, страница 102.

Условие.

14. Что называется пределом последовательности?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

14.

Предел последовательности — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Интуитивно, предел последовательности — это число, к которому члены последовательности "приближаются" или "стремятся" с увеличением их номера.

Формальное определение (определение Коши, или на языке "эпсилон-N")

Число $a$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) существует такой номер $N$ (зависящий от $\varepsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство:

$|x_n - a| < \varepsilon$

Это записывается следующим образом:

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

С помощью кванторов это определение можно записать так:

$\lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{такое, что} \ \forall n > N \implies |x_n - a| < \varepsilon$.

Геометрическая интерпретация

Неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ равносильно двойному неравенству $a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$. Это означает, что член последовательности $x_n$ находится в интервале $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, который называется $\varepsilon$-окрестностью точки $a$.

Таким образом, определение предела означает, что для любой, сколь угодно малой $\varepsilon$-окрестности точки $a$, почти все члены последовательности (то есть все, кроме, возможно, конечного их числа — первых $N$ членов) будут лежать внутри этой окрестности. Сколько бы мы ни "сужали" окрестность вокруг точки $a$ (уменьшая $\varepsilon$), всегда найдется такой номер $N$, начиная с которого все последующие члены последовательности попадут в эту суженую окрестность и уже никогда из нее не выйдут.

Сходимость и расходимость

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Если же последовательность не имеет конечного предела, она называется расходящейся. Расходящаяся последовательность может иметь предел, равный бесконечности ($\infty$ или $-\infty$), или не иметь предела вовсе (например, у последовательности $x_n = (-1)^n$, члены которой постоянно колеблются между -1 и 1 и не стремятся ни к какому конкретному числу).

Пример

Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n}$. Докажем, что ее предел равен 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Согласно определению, для любого $\varepsilon > 0$ мы должны найти такое $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться $| \frac{1}{n} - 0 | < \varepsilon$.

Неравенство $| \frac{1}{n} | < \varepsilon$ для натуральных $n$ эквивалентно $\frac{1}{n} < \varepsilon$, что в свою очередь эквивалентно $n > \frac{1}{\varepsilon}$.

Следовательно, в качестве $N$ мы можем взять любое натуральное число, большее или равное $\frac{1}{\varepsilon}$, например, $N = \lfloor \frac{1}{\varepsilon} \rfloor + 1$. Тогда для любого $n > N$ будет верно $n > \frac{1}{\varepsilon}$, и, значит, $|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon$. Таким образом, по определению, предел последовательности равен 0.

Ответ: Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такое натуральное число $N$, что для всех номеров $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$.