Номер 8, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 8, страница 101.

Условие.

8. В чём состоит физический смысл производной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Физический смысл производной заключается в том, что она описывает скорость изменения одной физической величины в зависимости от другой. Если какая-либо физическая величина $y$ является функцией другой величины $x$, то есть задана зависимость $y = f(x)$, то производная $f'(x)$ в некоторой точке $x_0$ показывает, насколько быстро изменяется величина $y$ при бесконечно малом изменении величины $x$ в окрестности этой точки. Другими словами, производная — это мгновенная скорость протекания физического процесса.

Наиболее классическим и наглядным примером является механическое движение.

Пусть материальная точка движется вдоль прямой, и закон её движения задан функцией $s(t)$, где $s$ — координата точки (пройденный путь) в момент времени $t$.

За промежуток времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ точка переместится на расстояние $\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)$. Средняя скорость движения на этом участке вычисляется как отношение пройденного пути ко времени, за которое он был пройден:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Чтобы определить скорость не на промежутке, а в конкретный момент времени $t_0$ (то есть мгновенную скорость), необходимо рассматривать всё меньшие и меньшие промежутки времени, устремляя $\Delta t$ к нулю. В математике это соответствует операции нахождения предела:

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Это выражение в точности совпадает с математическим определением производной функции $s(t)$ в точке $t_0$. Таким образом:

$v(t) = s'(t)$

То есть, мгновенная скорость является производной от координаты (пути) по времени.

Аналогично можно рассмотреть и ускорение. Ускорение $a(t)$ по определению — это скорость изменения скорости. Следовательно, мгновенное ускорение является производной от скорости по времени:

$a(t) = v'(t)$

Поскольку скорость сама является производной от координаты, ускорение оказывается второй производной от координаты по времени:

$a(t) = (s'(t))' = s''(t)$

Этот же принцип применим ко многим другим физическим процессам:

• Сила тока ($I$) — это скорость прохождения электрического заряда ($q$) через поперечное сечение проводника. Таким образом, сила тока есть производная от заряда по времени: $I(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$.
• Мощность ($P$) — это скорость совершения работы ($A$). Следовательно, мощность есть производная от работы по времени: $P(t) = A'(t) = \frac{dA}{dt}$.
• Теплоёмкость ($C$) — это величина, показывающая, как изменяется количество теплоты ($Q$) в теле при изменении его температуры ($T$). Мгновенная теплоёмкость — это производная от количества теплоты по температуре: $C(T) = Q'(T) = \frac{dQ}{dT}$.
• Линейная плотность ($\rho_l$) неоднородного стержня в точке $x$ — это производная массы ($m$) части стержня по его длине ($l$ или $x$): $\rho_l(x) = m'(x) = \frac{dm}{dx}$.

Ответ: Физический смысл производной функции $y=f(x)$ заключается в том, что она характеризует мгновенную скорость изменения величины $y$ относительно изменения величины $x$. В механике производная координаты по времени есть мгновенная скорость, а производная скорости по времени — мгновенное ускорение.