Страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

258. Найти все значения $a$, при которых неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений, если:

1) $f(x) = ax^7 + x^3 - 1;$

2) $f(x) = x^5 + ax^3 + 3;$

3) $f(x) = (x + a)\sqrt{x};$

4) $f(x) = x + \frac{a}{x}.$

Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений тогда и только тогда, когда для всех $x$ из области определения производной $f'(x)$ выполняется неравенство $f'(x) \ge 0$. Найдем значения параметра $a$, удовлетворяющие этому условию для каждой из функций.

1) Дана функция $f(x) = ax^7 + x^3 - 1$.
Найдем производную функции:$f'(x) = (ax^7 + x^3 - 1)' = 7ax^6 + 3x^2$.
Область определения производной — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).Неравенство $f'(x) \ge 0$ должно выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$:$7ax^6 + 3x^2 \ge 0$.
Вынесем $x^2$ за скобки:$x^2(7ax^4 + 3) \ge 0$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).
Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что верно при любом $a$.
Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, и мы можем разделить неравенство на $x^2$, не меняя знака:$7ax^4 + 3 \ge 0$.
Это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$. Обозначим $t = x^4$. Поскольку $x \ne 0$, $t$ может принимать любые положительные значения ($t > 0$). Неравенство принимает вид:$7at + 3 \ge 0$ для всех $t > 0$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ge 0$, то $7a \ge 0$. Для любого $t > 0$ имеем $7at \ge 0$, следовательно $7at + 3 \ge 3 > 0$. Неравенство выполняется.
2. Если $a < 0$, то $7a < 0$. Выражение $7at$ может быть сколь угодно большим по модулю и отрицательным при возрастании $t$. Можно выбрать $t$ так, чтобы $7at < -3$. Например, при $t > -3/(7a)$ (это положительное число, т.к. $a<0$), получим $7at+3 < 0$. Значит, при $a < 0$ неравенство выполняется не для всех $t > 0$.
Следовательно, условие выполняется только при $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$.
Найдем производную:$f'(x) = (x^5 + ax^3 + 3)' = 5x^4 + 3ax^2$.
Область определения $x \in \mathbb{R}$.Требуется, чтобы $f'(x) \ge 0$ для всех $x$:$5x^4 + 3ax^2 \ge 0$.
Вынесем $x^2$ за скобки:$x^2(5x^2 + 3a) \ge 0$.
При $x = 0$ неравенство верно. При $x \ne 0$ оно эквивалентно$5x^2 + 3a \ge 0$.
Это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$. Так как выражение $5x^2 + 3a$ непрерывно, оно должно выполняться и при $x=0$.Рассмотрим функцию $g(x) = 5x^2 + 3a$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Её наименьшее значение достигается в вершине, при $x=0$.$g_{min} = g(0) = 5 \cdot 0^2 + 3a = 3a$.
Чтобы неравенство $g(x) \ge 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо и достаточно, чтобы его наименьшее значение было неотрицательным:$3a \ge 0$, откуда $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = (x + a)\sqrt{x}$.
Область определения функции: $x \ge 0$.Перепишем функцию: $f(x) = x\sqrt{x} + a\sqrt{x} = x^{3/2} + ax^{1/2}$.
Найдем производную:$f'(x) = (x^{3/2} + ax^{1/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{a}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{a}{2\sqrt{x}}$.
Область определения производной: $x > 0$.Приведем к общему знаменателю:$f'(x) = \frac{3x + a}{2\sqrt{x}}$.
Требуется, чтобы $f'(x) \ge 0$ для всех $x > 0$:$\frac{3x + a}{2\sqrt{x}} \ge 0$.
Знаменатель $2\sqrt{x}$ строго положителен при $x > 0$. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство эквивалентно:$3x + a \ge 0$ для всех $x > 0$.
Рассмотрим функцию $h(x) = 3x + a$. Это линейная возрастающая функция. Чтобы она была неотрицательной для всех $x > 0$, её точная нижняя грань (инфимум) на интервале $(0, +\infty)$ должна быть неотрицательной.$\inf_{x>0}(3x+a) = \lim_{x \to 0^+} (3x+a) = a$.
Следовательно, необходимо и достаточно, чтобы $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

4) Дана функция $f(x) = x + \frac{a}{x}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.Найдем производную:$f'(x) = (x + \frac{a}{x})' = 1 - \frac{a}{x^2}$.
Область определения производной: $x \ne 0$.Требуется, чтобы $f'(x) \ge 0$ для всех $x \ne 0$:$1 - \frac{a}{x^2} \ge 0$,
что равносильно $1 \ge \frac{a}{x^2}$.
Так как $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, можем умножить обе части на $x^2$, сохранив знак неравенства:$x^2 \ge a$.
Это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$.Множество значений функции $g(x) = x^2$ при $x \ne 0$ есть интервал $(0, +\infty)$.Точная нижняя грань (инфимум) этого множества значений равна 0.Чтобы неравенство $x^2 \ge a$ выполнялось для всех значений $x^2$ из интервала $(0, +\infty)$, параметр $a$ должен быть меньше или равен этой нижней грани.Следовательно, $a \le 0$.
Если $a > 0$, то можно выбрать $x$ так, что $0 < x^2 < a$ (например, $x = \sqrt{a}/2$), и неравенство $x^2 \ge a$ не будет выполняться.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

259. Определить, под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми называется угол между касательными к кривым в точке их пересечения):

1) $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$;

2) $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1.

Чтобы определить угол между графиками функций, необходимо найти угол между касательными к этим графикам в точке их пересечения. Алгоритм решения следующий:

1. Найти координаты точки пересечения графиков.
2. Найти производные обеих функций. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
3. Вычислить угловые коэффициенты касательных в точке пересечения ($k_1$ и $k_2$).
4. Найти угол $\phi$ между касательными, используя формулу: $\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.

Даны функции $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{6-x}$.

Шаг 1: Находим точку пересечения.

Приравняем выражения для $y$:

$2\sqrt{x} = 2\sqrt{6-x}$

$\sqrt{x} = \sqrt{6-x}$

Возводим обе части в квадрат (при условии $x \ge 0$ и $6-x \ge 0$, то есть $0 \le x \le 6$):

$x = 6-x$

$2x = 6$

$x_0 = 3$

Найдем ординату точки пересечения, подставив $x_0$ в любое из уравнений:

$y_0 = 2\sqrt{3}$

Таким образом, точка пересечения кривых $M(3, 2\sqrt{3})$.

Шаг 2: Находим производные.

Для первой функции $y_1 = 2\sqrt{x}$:

$y_1' = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Для второй функции $y_2 = 2\sqrt{6-x}$:

$y_2' = (2(6-x)^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}(6-x)^{-1/2} \cdot (6-x)' = \frac{1}{\sqrt{6-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt{6-x}}$

Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 3$.

Угловой коэффициент первой касательной:

$k_1 = y_1'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угловой коэффициент второй касательной:

$k_2 = y_2'(3) = -\frac{1}{\sqrt{6-3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 4: Находим угол между касательными.

Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \left| -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \right| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

Находим угол $\phi$:

$\phi = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ (или $60^{\circ}$).

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

Даны функции $y = \sqrt{2x+1}$ и $y = 1$.

Шаг 1: Находим точку пересечения.

Приравняем выражения для $y$:

$\sqrt{2x+1} = 1$

Возводим обе части в квадрат (при условии $2x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1/2$):

$2x+1 = 1$

$2x = 0$

$x_0 = 0$

Ордината точки пересечения $y_0=1$.

Таким образом, точка пересечения кривых $M(0, 1)$.

Шаг 2: Находим производные.

Для первой функции $y_1 = \sqrt{2x+1}$:

$y_1' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Вторая функция $y_2 = 1$ — это горизонтальная прямая, её производная равна нулю:

$y_2' = 0$

Шаг 3: Вычисляем угловые коэффициенты касательных в точке $x_0 = 0$.

Угловой коэффициент первой касательной:

$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = 1$

Угловой коэффициент второй касательной:

$k_2 = 0$

Шаг 4: Находим угол между касательными.

Подставляем значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| = \left| \frac{0 - 1}{1 + 1 \cdot 0} \right| = \left| \frac{-1}{1} \right| = 1$

Находим угол $\phi$:

$\phi = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ (или $45^{\circ}$).

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

260. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $y=2\sin\frac{x}{2}$, $x_0=\frac{3\pi}{2}$;

2) $y=2^{-x}-2^{-2x}$, $x_0=2$;

3) $y=\frac{x+3}{2-x}$, $x_0=2$;

4) $y=x+\ln x$, $x_0=e$;

5) $y=e^{x^2-1}$, $x_0=1$;

6) $y=\sin(\pi x^2)$, $x_0=1$.

Общая формула уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения каждой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке касания $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания $f'(x_0)$ (это угловой коэффициент касательной).
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной и упростить выражение.

1) Дана функция $y = 2\sin\frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{3\pi}{2}$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (2\sin\frac{x}{2})' = 2\cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = 2\cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \cos(\frac{x}{2})$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Уравнение касательной:

$y = \sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2})(x - \frac{3\pi}{2})$

$y = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{4}$.

2) Дана функция $y = 2^{-x} - 2^{-2x}$ и точка $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(2) = 2^{-2} - 2^{-2 \cdot 2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$.

2. Производная функции (используя формулу $(a^u)'=a^u \ln a \cdot u'$):

$f'(x) = (2^{-x} - 2^{-2x})' = 2^{-x}\ln(2) \cdot (-1) - 2^{-2x}\ln(2) \cdot (-2) = -2^{-x}\ln(2) + 2 \cdot 2^{-2x}\ln(2)$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(2) = -2^{-2}\ln(2) + 2 \cdot 2^{-4}\ln(2) = -\frac{1}{4}\ln(2) + 2 \cdot \frac{1}{16}\ln(2) = -\frac{1}{4}\ln(2) + \frac{1}{8}\ln(2) = (-\frac{2}{8} + \frac{1}{8})\ln(2) = -\frac{1}{8}\ln(2)$.

4. Уравнение касательной:

$y = \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8}(x - 2)$

$y = \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8}x + \frac{2\ln(2)}{8} = \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8}x + \frac{\ln(2)}{4}$

$y = -\frac{\ln(2)}{8}x + \frac{3 + 4\ln(2)}{16}$

Ответ: $y = -\frac{\ln 2}{8}x + \frac{3 + 4\ln 2}{16}$.

3) Дана функция $y = \frac{x+3}{2-x}$ и точка $x_0 = 2$.

Область определения функции $f(x)$ - это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае $2-x \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Поскольку точка $x_0 = 2$ не входит в область определения функции, то функция в этой точке не определена. Следовательно, невозможно построить касательную к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Ответ: Касательная не существует, так как функция не определена в точке $x_0 = 2$.

4) Дана функция $y = x + \ln x$ и точка $x_0 = e$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(e) = e + \ln e = e + 1$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (x + \ln x)' = 1 + \frac{1}{x}$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(e) = 1 + \frac{1}{e}$.

4. Уравнение касательной:

$y = (e + 1) + (1 + \frac{1}{e})(x - e)$

$y = e + 1 + (1 + \frac{1}{e})x - e(1 + \frac{1}{e})$

$y = e + 1 + (1 + \frac{1}{e})x - (e + 1)$

$y = (1 + \frac{1}{e})x$

Ответ: $y = (1 + \frac{1}{e})x$.

5) Дана функция $y = e^{x^2-1}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = e^{1^2-1} = e^0 = 1$.

2. Производная функции (используя правило дифференцирования сложной функции):

$f'(x) = (e^{x^2-1})' = e^{x^2-1} \cdot (x^2-1)' = e^{x^2-1} \cdot 2x$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = e^{1^2-1} \cdot 2(1) = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$.

4. Уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 1)$

$y = 1 + 2x - 2$

$y = 2x - 1$

Ответ: $y = 2x - 1$.

6) Дана функция $y = \sin(\pi x^2)$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = \sin(\pi \cdot 1^2) = \sin(\pi) = 0$.

2. Производная функции (используя правило дифференцирования сложной функции):

$f'(x) = (\sin(\pi x^2))' = \cos(\pi x^2) \cdot (\pi x^2)' = \cos(\pi x^2) \cdot 2\pi x = 2\pi x \cos(\pi x^2)$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = 2\pi (1) \cos(\pi \cdot 1^2) = 2\pi \cos(\pi) = 2\pi(-1) = -2\pi$.

4. Уравнение касательной:

$y = 0 + (-2\pi)(x - 1)$

$y = -2\pi x + 2\pi$

Ответ: $y = -2\pi x + 2\pi$.

261. Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, параллельной оси $Ox$, если:

1) $f(x) = x^2 - 4x;$

2) $f(x) = (x - 1)(x - 2);$

3) $f(x) = x^4 + 32x - 3;$

4) $f(x) = x^6 + 6x - 2.$

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$, параллельной оси $Ox$, необходимо найти точки, в которых производная функции обращается в ноль. Касательная, параллельная оси $Ox$, является горизонтальной прямой, и ее угловой коэффициент $k$ равен нулю. Так как угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$, нам нужно решить уравнение $f'(x) = 0$. Найдя абсциссу точки касания $x_0$, мы можем найти соответствующую ординату $y_0 = f(x_0)$. Уравнение искомой касательной будет иметь вид $y = y_0$.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 4x$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 2x_0 - 4 = 0$
$2x_0 = 4$
$x_0 = 2$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:
$y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Уравнение касательной, параллельной оси $Ox$, имеет вид $y = y_0$.
Таким образом, искомое уравнение: $y = -4$.
Ответ: $y = -4$.

2) Дана функция $f(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Сначала раскроем скобки: $f(x) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 2x_0 - 3 = 0$
$2x_0 = 3$
$x_0 = \frac{3}{2}$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2} - 1)(\frac{3}{2} - 2) = (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$.
Или, используя раскрытое выражение: $y_0 = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9 - 18 + 8}{4} = -\frac{1}{4}$.
Искомое уравнение касательной: $y = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $y = -\frac{1}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = x^4 + 32x - 3$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^4 + 32x - 3)' = 4x^3 + 32$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 4x_0^3 + 32 = 0$
$4x_0^3 = -32$
$x_0^3 = -8$
$x_0 = -2$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(-2) = (-2)^4 + 32 \cdot (-2) - 3 = 16 - 64 - 3 = -51$.
Искомое уравнение касательной: $y = -51$.
Ответ: $y = -51$.

4) Дана функция $f(x) = x^6 + 6x - 2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (x^6 + 6x - 2)' = 6x^5 + 6$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x_0) = 0 \Rightarrow 6x_0^5 + 6 = 0$
$6x_0^5 = -6$
$x_0^5 = -1$
$x_0 = -1$.
Теперь найдем ординату точки касания $y_0$:
$y_0 = f(-1) = (-1)^6 + 6 \cdot (-1) - 2 = 1 - 6 - 2 = -7$.
Искомое уравнение касательной: $y = -7$.
Ответ: $y = -7$.

262. Найти уравнения касательных к графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2$, параллельных прямой $y = 6x$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, искомые касательные должны быть параллельны прямой $y = 6x$. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой $y = 6x$ равен 6. Следовательно, для точек касания должно выполняться условие $f'(x_0) = 6$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2$:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x = x^2 - 5x$.

Теперь найдем абсциссы точек касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 6$:
$x_0^2 - 5x_0 = 6$
$x_0^2 - 5x_0 - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, существуют две касательные к графику функции, параллельные прямой $y = 6x$. Найдем уравнения для каждой из них.

1. Касательная в точке с абсциссой $x_0 = 6$.
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 6$ в исходную функцию:
$y_0 = f(6) = \frac{1}{3}(6)^3 - \frac{5}{2}(6)^2 = \frac{216}{3} - \frac{5 \cdot 36}{2} = 72 - 90 = -18$.
Точка касания: $(6, -18)$.
Составим уравнение касательной, используя точку $(6, -18)$ и угловой коэффициент $k=6$:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - (-18) = 6(x - 6)$
$y + 18 = 6x - 36$
$y = 6x - 54$

2. Касательная в точке с абсциссой $x_0 = -1$.
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = -1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{15}{6} = -\frac{17}{6}$.
Точка касания: $(-1, -\frac{17}{6})$.
Составим уравнение касательной, используя точку $(-1, -\frac{17}{6})$ и угловой коэффициент $k=6$:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - (-\frac{17}{6}) = 6(x - (-1))$
$y + \frac{17}{6} = 6(x + 1)$
$y = 6x + 6 - \frac{17}{6}$
$y = 6x + \frac{36}{6} - \frac{17}{6}$
$y = 6x + \frac{19}{6}$

Ответ: $y = 6x - 54$ и $y = 6x + \frac{19}{6}$.

263. Прямая касается гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в точке (1; 4).

Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Для решения задачи сначала найдем уравнение прямой, касающейся гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в точке $(1; 4)$. Затем, найдя точки пересечения этой прямой с осями координат, мы сможем вычислить площадь образованного треугольника.

1. Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с координатами $(x_0; y_0)$ задается формулой:$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$где $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

В нашем случае функция $f(x) = \frac{4}{x}$, а точка касания $(x_0; y_0) = (1; 4)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим ее в виде $f(x) = 4x^{-1}$:$f'(x) = (4x^{-1})' = -1 \cdot 4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$

Теперь найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 1$:$f'(1) = -\frac{4}{1^2} = -4$

Подставим известные значения $x_0 = 1$, $y_0 = 4$ и $f'(1) = -4$ в уравнение касательной:$y - 4 = -4(x - 1)$$y - 4 = -4x + 4$$y = -4x + 8$

Таким образом, уравнение касательной прямой — $y = -4x + 8$.

2. Вычисление площади треугольника

Треугольник, ограниченный касательной и осями координат, является прямоугольным. Его катеты лежат на осях Ox и Oy. Длины катетов равны отрезкам, которые касательная отсекает на осях. Чтобы найти эти длины, найдем точки пересечения прямой $y = -4x + 8$ с осями координат.

Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), приравняв $x$ к нулю:$y = -4(0) + 8 = 8$Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 8)$. Длина одного катета равна 8.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), приравняв $y$ к нулю:$0 = -4x + 8$$4x = 8$$x = 2$Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(2; 0)$. Длина второго катета равна 2.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$

Ответ: 8

264. Прямая касается гиперболы $y = \frac{k}{x}$, где $k > 0$, в точке с абсциссой $x_0$. Доказать, что:

1) площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания; найти эту площадь;

2) эта касательная проходит через точки $(x_0; \frac{k}{x_0})$ и $(2x_0; 0)$.

1) площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания; найти эту площадь;

Дана гипербола $y = f(x) = \frac{k}{x}$, где $k > 0$. Касание происходит в точке с абсциссой $x_0$. Координаты точки касания $M$ равны $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0) = \frac{k}{x_0}$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{k}{x})' = (k \cdot x^{-1})' = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$

Значение производной в точке $x_0$ равно $f'(x_0) = -\frac{k}{x_0^2}$.

Подставим известные значения в уравнение касательной:

$y - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(x - x_0)$

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить вершины треугольника.

Пересечение с осью ординат (осью Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$y - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(0 - x_0)$

$y - \frac{k}{x_0} = \frac{k x_0}{x_0^2}$

$y - \frac{k}{x_0} = \frac{k}{x_0}$

$y = \frac{2k}{x_0}$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $A(0, \frac{2k}{x_0})$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(x - x_0)$

Поскольку $k > 0$ и $x_0 \ne 0$, мы можем разделить обе части на $-\frac{k}{x_0}$:

$1 = \frac{1}{x_0}(x - x_0)$

Умножим обе части на $x_0$:

$x_0 = x - x_0$

$x = 2x_0$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $B(2x_0, 0)$.

Треугольник, ограниченный касательной и осями координат, является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $O(0, 0)$, $A(0, \frac{2k}{x_0})$ и $B(2x_0, 0)$.

Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения:

Длина катета по оси Ox: $|2x_0|$

Длина катета по оси Oy: $|\frac{2k}{x_0}|$

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot |\frac{2k}{x_0}|$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2|x_0| \cdot \frac{2|k|}{|x_0|}$

Так как по условию $k > 0$, то $|k| = k$. Сокращая $|x_0|$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2k = 2k$

Полученное значение площади $S = 2k$ является константой (поскольку $k$ — это заданный параметр гиперболы) и не зависит от $x_0$, то есть от положения точки касания. Это доказывает первое утверждение. Площадь этого треугольника равна $2k$.

Ответ: Площадь треугольника равна $2k$. Так как $k$ — константа, площадь не зависит от положения точки касания $x_0$.

2) эта касательная проходит через точки $(x_0; \frac{k}{x_0})$ и $(2x_0; 0)$.

Уравнение касательной, как мы нашли в пункте 1, имеет вид:

$y - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0^2}(x - x_0)$

Докажем, что указанные точки принадлежат этой прямой, подставив их координаты в уравнение.

Проверка для точки $(x_0; \frac{k}{x_0})$:

Эта точка является самой точкой касания. По определению, касательная проходит через точку касания. Выполним формальную проверку подстановкой:

Подставим $x = x_0$ и $y = \frac{k}{x_0}$ в уравнение касательной:

Левая часть: $\frac{k}{x_0} - \frac{k}{x_0} = 0$

Правая часть: $-\frac{k}{x_0^2}(x_0 - x_0) = -\frac{k}{x_0^2} \cdot 0 = 0$

Поскольку $0 = 0$, тождество верно, и точка $(x_0; \frac{k}{x_0})$ лежит на касательной.

Проверка для точки $(2x_0; 0)$:

Как было установлено в пункте 1, точка с координатами $(2x_0, 0)$ является точкой пересечения касательной с осью абсцисс (Ox). Следовательно, она должна лежать на касательной. Выполним проверку подстановкой:

Подставим $x = 2x_0$ и $y = 0$ в уравнение касательной:

Левая часть: $0 - \frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0}$

Правая часть: $-\frac{k}{x_0^2}(2x_0 - x_0) = -\frac{k}{x_0^2}(x_0) = -\frac{k}{x_0}$

Поскольку левая и правая части равны ($-\frac{k}{x_0} = -\frac{k}{x_0}$), тождество верно, и точка $(2x_0; 0)$ лежит на касательной.

Таким образом, доказано, что касательная проходит через обе указанные точки.

Ответ: Что и требовалось доказать.

265. Поршень сжимает воздух, находящийся в цилиндре, таким образом, что давление увеличивается со скоростью $800 \text{ Па/с}$, а его объём уменьшается со скоростью $2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3/\text{с}$. С какой скоростью изменяется температура воздуха $T$ в тот момент, когда давление равно $1,6 \cdot 10^5 \text{ Па}$, объём равен $0,01 \text{ м}^3$, а температура равна $400^{\circ}\text{К}$? (Воздух в расчётах считать идеальным газом.)

Для решения данной задачи мы будем использовать уравнение состояния идеального газа, также известное как уравнение Менделеева-Клапейрона, которое связывает давление $P$, объём $V$ и температуру $T$ газа:
$PV = nRT$
В этом уравнении $n$ — это количество вещества газа, а $R$ — универсальная газовая постоянная. Так как поршень сжимает воздух в закрытом цилиндре, количество воздуха $n$ остается постоянным. Следовательно, произведение $nR$ является константой.
Все три параметра состояния газа — давление $P(t)$, объём $V(t)$ и температура $T(t)$ — являются функциями времени. Чтобы найти связь между скоростями их изменения, необходимо продифференцировать уравнение состояния идеального газа по времени $t$. Применим правило дифференцирования произведения для левой части уравнения $(P(t)V(t))' = P'(t)V(t) + P(t)V'(t)$:
$\frac{d}{dt}(PV) = \frac{d}{dt}(nRT)$
$\frac{dP}{dt}V + P\frac{dV}{dt} = nR\frac{dT}{dt}$
Из этого уравнения мы можем выразить искомую скорость изменения температуры $\frac{dT}{dt}$:
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{nR} \left( \frac{dP}{dt}V + P\frac{dV}{dt} \right)$
Значение константы $nR$ можно вычислить, используя данные для конкретного момента времени, указанные в условии задачи:
$P = 1,6 \cdot 10^5$ Па
$V = 0,01$ м³
$T = 400$ К
$nR = \frac{PV}{T} = \frac{1,6 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0,01 \text{ м³}}{400 \text{ К}} = \frac{1600}{400} = 4 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$
Теперь подставим все известные значения в формулу для $\frac{dT}{dt}$. Согласно условию, давление увеличивается, поэтому его производная положительна, а объём уменьшается, поэтому его производная отрицательна:
$\frac{dP}{dt} = 800$ Па/с
$\frac{dV}{dt} = -2 \cdot 10^{-5}$ м³/с
Проводим вычисления:
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} \left( (800) \cdot (0,01) + (1,6 \cdot 10^5) \cdot (-2 \cdot 10^{-5}) \right)$
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} \left( 8 - 1,6 \cdot 2 \cdot 10^{5-5} \right)$
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} (8 - 3,2)$
$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{4} (4,8) = 1,2$ К/с
Положительный знак результата означает, что температура воздуха в данный момент времени возрастает.
Ответ: температура воздуха изменяется со скоростью 1,2 К/с.

266. Масса сахара $m$, растворяющегося в воде за время от начала растворения $t_0$ до момента $t$, определяется функцией $m = f(t)$. Найти:

1) массу сахара, растворяющегося за промежуток времени $[t_1; t_2]$;

2) среднюю скорость растворения сахара за промежуток времени $[t_1; t_2]$;

3) мгновенную скорость растворения сахара в момент времени $t$.

1) массу сахара, растворяющегося за промежуток времени $[t_1; t_2]$

Согласно условию, функция $m = f(t)$ определяет общую массу сахара, которая растворилась с начального момента времени $t_0$ до произвольного момента времени $t$.
Масса сахара, растворившаяся к моменту времени $t_1$, будет равна $m_1 = f(t_1)$.
Аналогично, масса сахара, растворившаяся к моменту времени $t_2$, будет равна $m_2 = f(t_2)$.
Чтобы найти массу сахара, которая растворилась именно в промежутке времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо из общей массы, растворившейся к моменту $t_2$, вычесть общую массу, растворившуюся к моменту $t_1$. Обозначим искомую массу как $\Delta m$.

$\Delta m = m_2 - m_1 = f(t_2) - f(t_1)$.
Ответ: Масса сахара, растворившегося за промежуток времени $[t_1; t_2]$, равна $f(t_2) - f(t_1)$.

2) среднюю скорость растворения сахара за промежуток времени $[t_1; t_2]$

Средняя скорость изменения величины на некотором промежутке — это отношение изменения этой величины к длительности промежутка. В данном случае, это отношение изменения массы растворившегося сахара к изменению времени.
Изменение массы сахара за промежуток $[t_1; t_2]$ равно $\Delta m = f(t_2) - f(t_1)$.
Длительность промежутка времени равна $\Delta t = t_2 - t_1$.
Тогда средняя скорость растворения, обозначим ее $v_{ср}$, вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$.
Ответ: Средняя скорость растворения сахара за промежуток времени $[t_1; t_2]$ равна $\frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$.

3) мгновенную скорость растворения сахара в момент времени $t$

Мгновенная скорость растворения — это скорость в конкретный момент времени $t$. Она определяется как предел, к которому стремится средняя скорость растворения, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю. Этот предел является производной функции по времени.
Для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ нужно найти производную от функции массы $m = f(t)$ по времени $t$.

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t} = f'(t)$.
Ответ: Мгновенная скорость растворения сахара в момент времени $t$ равна производной функции $f(t)$, то есть $f'(t)$.

1. Перечислить способы задания числовой последовательности.

Числовая последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$. Каждому натуральному числу $n$ (номеру члена) ставится в соответствие некоторое действительное число $a_n$ (член последовательности). Задать последовательность — значит указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым натуральным номером. Существует несколько основных способов это сделать.

1. Аналитический способ

При аналитическом способе последовательность задается с помощью формулы ее n-го члена, то есть формулы, которая позволяет по номеру члена $n$ найти сам член последовательности $a_n$. Такая формула имеет вид $a_n = f(n)$. Это один из самых удобных способов, так как он позволяет сразу найти любой член последовательности, зная его номер.

Пример 1: Последовательность квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, ..., $n^2$, ... задается формулой $a_n = n^2$. С помощью этой формулы можно найти, например, сотый член последовательности: $a_{100} = 100^2 = 10000$.

Пример 2: Последовательность, заданная формулой $x_n = \frac{n-1}{n+1}$, начинается с членов: $x_1 = \frac{1-1}{1+1} = 0$, $x_2 = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$, $x_3 = \frac{3-1}{3+1} = \frac{1}{2}$, и так далее.

Ответ: Аналитический способ задания последовательности заключается в указании формулы n-го члена $a_n = f(n)$.

2. Рекуррентный способ

При рекуррентном (от лат. recurrere — возвращаться) способе задается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для этого необходимо также задать один или несколько начальных членов последовательности. Формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие члены, называется рекуррентным соотношением.

Пример 1: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 4$. Ее можно задать рекуррентно: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$. Первые члены этой последовательности: 3, 7, 11, 15, ... Чтобы найти, например, $a_4$, нужно последовательно вычислить $a_2 = a_1 + 4 = 7$, $a_3 = a_2 + 4 = 11$, $a_4 = a_3 + 4 = 15$.

Пример 2: Последовательность Фибоначчи задается двумя первыми членами $F_1 = 1$, $F_2 = 1$ и рекуррентным соотношением $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Каждый следующий член равен сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Ответ: Рекуррентный способ заключается в указании правила, позволяющего вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены, а также задании одного или нескольких начальных членов.

3. Словесный способ

Этот способ состоит в том, что правило задания последовательности описывается словами, без использования формул. Такой способ применяется тогда, когда найти аналитическое или рекуррентное выражение для членов последовательности затруднительно или нецелесообразно.

Пример 1: Последовательность простых чисел. Она задается описанием: "последовательность, членами которой являются все простые числа в порядке возрастания". Первые члены: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Не существует простой формулы для n-го простого числа.

Пример 2: Последовательность, n-й член которой — n-й знак после запятой в десятичной записи числа $\pi$. Первые члены: 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...

Ответ: Словесный способ — это задание последовательности описанием на естественном языке правила, по которому составляются ее члены.

2. Какая последовательность называется сходящейся?

Сходящейся называется числовая последовательность, члены которой по мере возрастания их номера неограниченно приближаются к некоторому определённому числу. Это число называется пределом последовательности. Если последовательность не имеет конечного предела, она называется расходящейся.

Существует строгое математическое определение сходящейся последовательности, известное как определение на языке «эпсилон-дельта» или определение Коши.

Формальное определение:
Числовая последовательность $\{x_n\}$ (где $n=1, 2, 3, \dots$) называется сходящейся, если существует такое число $a$, что для любого, сколь угодно малого, заранее заданного положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) можно найти такой номер $N$ (зависящий от $\epsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство:
$|x_n - a| < \epsilon$

Число $a$ в этом определении является пределом последовательности $\{x_n\}$. Факт сходимости последовательности $x_n$ к пределу $a$ записывается следующим образом:
$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Геометрическая интерпретация:
Неравенство $|x_n - a| < \epsilon$ эквивалентно двойному неравенству $a - \epsilon < x_n < a + \epsilon$. Интервал $(a - \epsilon, a + \epsilon)$ называется $\epsilon$-окрестностью точки $a$. Таким образом, определение сходимости означает, что для любой, даже самой маленькой, окрестности точки $a$ найдётся такой номер $N$, что все члены последовательности, начиная с номера $N+1$, будут находиться внутри этой окрестности. Другими словами, вне любой окрестности предела может лежать лишь конечное число членов последовательности.

Пример сходящейся последовательности:
Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$ является сходящейся. Её члены $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{100}, \dots$ с ростом $n$ становятся всё ближе и ближе к нулю. Пределом этой последовательности является число $0$.

Примеры расходящихся последовательностей:
1. $x_n = n^2$: $1, 4, 9, 16, \dots$ — члены последовательности неограниченно возрастают (стремятся к $+\infty$).
2. $x_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, 1, \dots$ — члены последовательности колеблются между двумя значениями и не приближаются ни к какому конкретному числу.

Ответ: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Это означает, что существует такое число $a$ (предел), что для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ можно указать такой номер $N$, что все члены последовательности с номерами, большими чем $N$, будут находиться от $a$ на расстоянии, меньшем чем $\epsilon$. Математически это записывается как: $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N: |x_n - a| < \epsilon$.

3. Какая последовательность называется монотонной?

Числовая последовательность $\{a_n\}$ называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей. Это означает, что для всех членов последовательности сохраняется один и тот же характер изменения: они либо не уменьшаются, либо не увеличиваются с ростом их порядкового номера $n$.

Виды монотонных последовательностей

Различают четыре вида монотонных последовательностей, которые можно разделить на две основные группы: монотонные (в нестрогом смысле) и строго монотонные.

Неубывающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется неубывающей (или возрастающей в нестрогом смысле), если каждый её последующий член не меньше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} \ge a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: $1, 3, 3, 5, 8, 8, 10, \dots$

Невозрастающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется невозрастающей (или убывающей в нестрогом смысле), если каждый её последующий член не больше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} \le a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: $10, 5, 5, 2, 0, -1, -1, \dots$

Для более точной классификации вводят понятие строгой монотонности.

Строго возрастающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется строго возрастающей, если каждый её последующий член строго больше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, \dots$

Строго убывающая последовательность
Последовательность $\{a_n\}$ называется строго убывающей, если каждый её последующий член строго меньше предыдущего.
Математически это записывается как: $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$.
Пример: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

Таким образом, любая строго возрастающая последовательность является также и неубывающей, а любая строго убывающая — невозрастающей. Обобщающий термин "монотонная последовательность" охватывает все четыре перечисленных типа. Если последовательность не относится ни к одному из этих типов (например, знакочередующаяся последовательность $1, -1, 2, -2, \dots$), она называется немонотонной.

Ответ:
Монотонной называется последовательность, члены которой либо не убывают, либо не возрастают. То есть для всех ее членов $a_n$ при любом натуральном $n$ выполняется одно из двух условий: либо $a_{n+1} \ge a_n$ (неубывающая последовательность), либо $a_{n+1} \le a_n$ (невозрастающая последовательность).

4. Привести пример функции, имеющей вертикальную (горизонтальную) асимптоту.

Пример функции, имеющей вертикальную асимптоту

Вертикальная асимптота — это вертикальная прямая вида $x=a$, к которой неограниченно приближается график функции, когда аргумент $x$ стремится к $a$. Формально, прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой для функции $f(x)$, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: $ \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty $ (или $-\infty$) или $ \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty $ (или $-\infty$).

Вертикальные асимптоты часто возникают в точках разрыва функции, например, у дробно-рациональных функций в точках, где знаменатель обращается в ноль, а числитель не равен нулю.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x-5}$.

Эта функция не определена в точке $x=5$, так как знаменатель обращается в ноль. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки, найдя односторонние пределы:

Предел справа: $ \lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{+0} = +\infty $

Предел слева: $ \lim_{x \to 5^-} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{-0} = -\infty $

Поскольку при приближении $x$ к 5 значения функции неограниченно возрастают (справа) или убывают (слева), прямая $x=5$ является вертикальной асимптотой графика функции.

Ответ: функция $f(x) = \frac{1}{x-5}$ имеет вертикальную асимптоту $x=5$.

Пример функции, имеющей горизонтальную асимптоту

Горизонтальная асимптота — это горизонтальная прямая вида $y=b$, к которой неограниченно приближается график функции, когда аргумент $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$. Формально, прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой для функции $f(x)$, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = b $ или $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = b $.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$.

Чтобы найти горизонтальные асимптоты, нужно вычислить пределы этой функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$. Для этого разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x$:

$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x-1}{x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x-1}{x}}{\frac{x+2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} $

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 $

Аналогичный предел будет и при $x \to -\infty$.

Поскольку предел функции на бесконечности равен конечному числу 3, прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой графика функции.

Ответ: функция $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$ имеет горизонтальную асимптоту $y=3$.

5. Привести пример непрерывной функции и построить её график.

Пример непрерывной функции

Непрерывная функция — это функция, график которой является сплошной линией, то есть его можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги. Более строго, функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Функция считается непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В качестве примера простой и широко известной непрерывной функции рассмотрим квадратичную функцию:
$y = x^2$

Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то есть для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Это общее свойство для всех полиномиальных (многочленных) функций, к которым относится и $y=x^2$, поскольку они строятся из непрерывных функций (констант и $y=x$) с помощью операций сложения и умножения, сохраняющих непрерывность.

Построение графика функции $y = x^2$

Чтобы построить график, сначала составим таблицу значений функции для нескольких ключевых точек:

Далее, отметим эти точки $(x, y)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученный график — парабола. Основные свойства графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
• График симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как функция является чётной ($f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$).

Ниже представлен график функции $y=x^2$:

График представляет собой непрерывную кривую, что наглядно демонстрирует свойство непрерывности функции $y = x^2$.

Ответ: Примером непрерывной функции является квадратичная функция $y = x^2$. Она непрерывна на всей области определения $x \in \mathbb{R}$. Её график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх, симметричная относительно оси $Oy$.

6. Что называется мгновенной скоростью?

Мгновенная скорость – это фундаментальное понятие в кинематике, которое описывает движение тела в каждый конкретный момент времени или в каждой конкретной точке его траектории. В отличие от средней скорости, которая характеризует движение в целом на некотором отрезке пути или за определенный промежуток времени, мгновенная скорость показывает, насколько быстро и в каком направлении движется тело «прямо сейчас».

Чтобы понять, как определяется мгновенная скорость, представим себе неравномерное движение, например, поездку на автомобиле по городу. Скорость автомобиля постоянно меняется. Если мы хотим узнать скорость в какой-то определенный момент, мы не можем просто поделить весь пройденный путь на все время в пути – это даст нам среднюю скорость.

Вместо этого мы рассматриваем очень маленький, практически нулевой промежуток времени $ \Delta t $. За это время тело совершает очень маленькое перемещение $ \Delta \vec{r} $. Средняя скорость на этом крошечном участке будет равна: $ \vec{v}_{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $

Чтобы получить скорость именно в данный момент времени $ t $, мы должны устремить этот промежуток времени $ \Delta t $ к нулю. В результате такого предельного перехода средняя скорость на бесконечно малом участке и будет являться мгновенной скоростью $ \vec{v} $ в точке, соответствующей моменту времени $ t $.

Математически мгновенная скорость определяется как предел отношения перемещения к промежутку времени, когда последний стремится к нулю: $ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $

В математическом анализе такой предел называется производной. Таким образом, мгновенная скорость – это первая производная от радиус-вектора $ \vec{r} $ (который определяет положение тела) по времени $ t $: $ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \vec{r}'(t) $

Важно помнить, что мгновенная скорость является векторной величиной. Это означает, что она имеет:

• Модуль (величину), который показывает, насколько быстро движется тело. Именно эту величину показывает спидометр автомобиля. Ее часто называют просто "скоростью".
• Направление, которое всегда совпадает с направлением движения в данный момент и направлено по касательной к траектории движения в данной точке.

Таким образом, мгновенная скорость дает полную характеристику движения тела в любой момент времени.

Ответ: Мгновенной скоростью называется векторная физическая величина, характеризующая скорость движения материальной точки в данный момент времени и в данной точке траектории. Она определяется как предел отношения перемещения $ \Delta \vec{r} $ к промежутку времени $ \Delta t $, за который это перемещение произошло, при условии, что промежуток времени стремится к нулю ($ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $). Иными словами, мгновенная скорость – это первая производная радиус-вектора по времени.

7. Что называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$?

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел, если он существует и конечен, характеризует скорость изменения функции в данной точке.

Формальное определение

Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$ (такое, что точка $x_0 + \Delta x$ не выходит за пределы окрестности). Функция при этом получит приращение $\Delta y$, которое вычисляется как:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
Отношение приращения функции к приращению аргумента равно $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.
Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемая как $f'(x_0)$ или $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$, определяется как предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
Функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, если этот предел существует и является конечным числом.

Существует также эквивалентная форма записи определения производной. Если положить $x = x_0 + \Delta x$, то $\Delta x = x - x_0$. Когда $\Delta x \to 0$, то $x \to x_0$. Тогда определение производной можно записать в виде:
$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Геометрический смысл производной

Геометрически производная $f'(x_0)$ равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.
Если $k$ - это угловой коэффициент касательной, то $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси Ox.
Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Физический (механический) смысл производной

Физически производная описывает скорость протекания процесса. Если $s(t)$ — закон прямолинейного движения материальной точки (зависимость пути от времени $t$), то производная $s'(t_0)$ представляет собой мгновенную скорость этой точки в момент времени $t_0$.
В общем случае, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это скорость изменения функции $f(x)$ в этой точке.

Ответ: Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю. Математически это записывается как: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

8. В чём состоит физический смысл производной?

Физический смысл производной заключается в том, что она описывает скорость изменения одной физической величины в зависимости от другой. Если какая-либо физическая величина $y$ является функцией другой величины $x$, то есть задана зависимость $y = f(x)$, то производная $f'(x)$ в некоторой точке $x_0$ показывает, насколько быстро изменяется величина $y$ при бесконечно малом изменении величины $x$ в окрестности этой точки. Другими словами, производная — это мгновенная скорость протекания физического процесса.

Наиболее классическим и наглядным примером является механическое движение.

Пусть материальная точка движется вдоль прямой, и закон её движения задан функцией $s(t)$, где $s$ — координата точки (пройденный путь) в момент времени $t$.

За промежуток времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ точка переместится на расстояние $\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)$. Средняя скорость движения на этом участке вычисляется как отношение пройденного пути ко времени, за которое он был пройден:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Чтобы определить скорость не на промежутке, а в конкретный момент времени $t_0$ (то есть мгновенную скорость), необходимо рассматривать всё меньшие и меньшие промежутки времени, устремляя $\Delta t$ к нулю. В математике это соответствует операции нахождения предела:

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Это выражение в точности совпадает с математическим определением производной функции $s(t)$ в точке $t_0$. Таким образом:

$v(t) = s'(t)$

То есть, мгновенная скорость является производной от координаты (пути) по времени.

Аналогично можно рассмотреть и ускорение. Ускорение $a(t)$ по определению — это скорость изменения скорости. Следовательно, мгновенное ускорение является производной от скорости по времени:

$a(t) = v'(t)$

Поскольку скорость сама является производной от координаты, ускорение оказывается второй производной от координаты по времени:

$a(t) = (s'(t))' = s''(t)$

Этот же принцип применим ко многим другим физическим процессам:

• Сила тока ($I$) — это скорость прохождения электрического заряда ($q$) через поперечное сечение проводника. Таким образом, сила тока есть производная от заряда по времени: $I(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$.
• Мощность ($P$) — это скорость совершения работы ($A$). Следовательно, мощность есть производная от работы по времени: $P(t) = A'(t) = \frac{dA}{dt}$.
• Теплоёмкость ($C$) — это величина, показывающая, как изменяется количество теплоты ($Q$) в теле при изменении его температуры ($T$). Мгновенная теплоёмкость — это производная от количества теплоты по температуре: $C(T) = Q'(T) = \frac{dQ}{dT}$.
• Линейная плотность ($\rho_l$) неоднородного стержня в точке $x$ — это производная массы ($m$) части стержня по его длине ($l$ или $x$): $\rho_l(x) = m'(x) = \frac{dm}{dx}$.

Ответ: Физический смысл производной функции $y=f(x)$ заключается в том, что она характеризует мгновенную скорость изменения величины $y$ относительно изменения величины $x$. В механике производная координаты по времени есть мгновенная скорость, а производная скорости по времени — мгновенное ускорение.

9. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

Пусть даны две дифференцируемые функции $u = u(x)$ и $v = v(x)$.

Сумма

Производная алгебраической суммы (суммы или разности) двух дифференцируемых функций равна соответствующей алгебраической сумме их производных.
Ответ: $(u \pm v)' = u' \pm v'$

Произведение

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме двух слагаемых: произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.
Ответ: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$

Частное

Производная частного двух дифференцируемых функций (при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $v(x) \neq 0$) равна дроби, числитель которой есть разность между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат первоначального знаменателя.
Ответ: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$