Страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

222. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$, проходящей через точку $(x_0; y_0)$, если:

1) $k=2, x_0=1, y_0=-1;$

2) $k=3, x_0=-2, y_0=1;$

3) $k=-2, x_0=3, y_0=-4;$

4) $k=\frac{1}{3}, x_0=1, y_0=0;$

5) $k=\frac{2}{3}, x_0=\frac{1}{3}, y_0=\frac{1}{3};$

6) $k=-\frac{1}{2}, x_0=0, y_0=0.$

Для того чтобы написать уравнение прямой, зная ее угловой коэффициент $k$ и координаты точки $(x_0, y_0)$, через которую она проходит, используется формула уравнения прямой по точке и угловому коэффициенту (point-slope form): $y - y_0 = k(x - x_0)$

Применим эту формулу для каждого из заданных случаев, подставляя соответствующие значения и упрощая полученное выражение до вида $y = kx + b$.

1) $k=2, x_0=1, y_0=-1;$

Подставляем значения $k=2$, $x_0=1$ и $y_0=-1$ в общую формулу:
$y - (-1) = 2(x - 1)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$y + 1 = 2x - 2$
$y = 2x - 2 - 1$
$y = 2x - 3$
Ответ: $y = 2x - 3$

2) $k=3, x_0=-2, y_0=1;$

Подставляем значения $k=3$, $x_0=-2$ и $y_0=1$ в общую формулу:
$y - 1 = 3(x - (-2))$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$y - 1 = 3(x + 2)$
$y - 1 = 3x + 6$
$y = 3x + 6 + 1$
$y = 3x + 7$
Ответ: $y = 3x + 7$

3) $k=-2, x_0=3, y_0=-4;$

Подставляем значения $k=-2$, $x_0=3$ и $y_0=-4$ в общую формулу:
$y - (-4) = -2(x - 3)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$y + 4 = -2x + 6$
$y = -2x + 6 - 4$
$y = -2x + 2$
Ответ: $y = -2x + 2$

4) $k=\frac{1}{3}, x_0=1, y_0=0;$

Подставляем значения $k=\frac{1}{3}$, $x_0=1$ и $y_0=0$ в общую формулу:
$y - 0 = \frac{1}{3}(x - 1)$
Раскрываем скобки и упрощаем:
$y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$
Ответ: $y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$

5) $k=\frac{2}{3}, x_0=\frac{1}{3}, y_0=\frac{1}{3};$

Подставляем значения $k=\frac{2}{3}$, $x_0=\frac{1}{3}$ и $y_0=\frac{1}{3}$ в общую формулу:
$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}(x - \frac{1}{3})$
Раскрываем скобки:
$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$
$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{9}$
Переносим $\frac{1}{3}$ в правую часть и приводим дроби к общему знаменателю:
$y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$
$y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{3}{9}$
$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$
Ответ: $y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$

6) $k=-\frac{1}{2}, x_0=0, y_0=0.$

Подставляем значения $k=-\frac{1}{2}$, $x_0=0$ и $y_0=0$ в общую формулу:
$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0)$
Упрощаем выражение:
$y = -\frac{1}{2}x$
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$