Страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

199. 1) $8\sqrt[4]{x} + 16e^{\frac{x}{2}};$

2) $\frac{9}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{4}\sin 4x;$

3) $3x\sqrt[3]{x} - 3\ln \frac{1}{x};$

4) $\frac{1}{x\sqrt{x}} + 5\cos \frac{x}{5}.$

1) Найти производную функции $y = 8\sqrt[4]{x} + 16e^{\frac{x}{2}}$.

Сначала преобразуем функцию, представив корень в виде степени:
$y = 8x^{\frac{1}{4}} + 16e^{\frac{x}{2}}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы, правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило для экспоненциальной функции $(e^{kx})' = ke^{kx}$.
$y' = (8x^{\frac{1}{4}} + 16e^{\frac{x}{2}})' = (8x^{\frac{1}{4}})' + (16e^{\frac{x}{2}})'$

Найдем производную каждого слагаемого:
$(8x^{\frac{1}{4}})' = 8 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = 2x^{-\frac{3}{4}}$
$(16e^{\frac{x}{2}})' = 16 \cdot e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = 16e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = 8e^{\frac{x}{2}}$

Складываем полученные производные:
$y' = 2x^{-\frac{3}{4}} + 8e^{\frac{x}{2}}$

Запишем результат, вернувшись к представлению с корнями:
$y' = \frac{2}{x^{\frac{3}{4}}} + 8e^{\frac{x}{2}} = \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}} + 8e^{\frac{x}{2}}$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt[4]{x^3}} + 8e^{\frac{x}{2}}$

2) Найти производную функции $y = \frac{9}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Преобразуем функцию, представив корень и дробь в виде степени:
$y = 9x^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{4}\sin(4x)$

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности, правило для степенной функции и производную сложной функции для синуса $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.
$y' = (9x^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{4}\sin(4x))' = (9x^{-\frac{1}{3}})' - (\frac{1}{4}\sin(4x))'$

Найдем производную каждого слагаемого:
$(9x^{-\frac{1}{3}})' = 9 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -3x^{-\frac{4}{3}}$
$(\frac{1}{4}\sin(4x))' = \frac{1}{4} \cdot \cos(4x) \cdot (4x)' = \frac{1}{4} \cos(4x) \cdot 4 = \cos(4x)$

Вычитаем вторую производную из первой:
$y' = -3x^{-\frac{4}{3}} - \cos(4x)$

Запишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{3}{x^{\frac{4}{3}}} - \cos(4x) = -\frac{3}{\sqrt[3]{x^4}} - \cos(4x) = -\frac{3}{x\sqrt[3]{x}} - \cos(4x)$

Ответ: $-3x^{-\frac{4}{3}} - \cos(4x)$ или $-\frac{3}{x\sqrt[3]{x}} - \cos(4x)$

3) Найти производную функции $y = 3x\sqrt[3]{x} - 3\ln\frac{1}{x}$.

Преобразуем функцию, используя свойства степеней и логарифмов:
$3x\sqrt[3]{x} = 3x^1 \cdot x^{\frac{1}{3}} = 3x^{1+\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{4}{3}}$
$3\ln\frac{1}{x} = 3\ln(x^{-1}) = 3 \cdot (-1)\ln x = -3\ln x$
Таким образом, функция принимает вид: $y = 3x^{\frac{4}{3}} - (-3\ln x) = 3x^{\frac{4}{3}} + 3\ln x$

Теперь найдем производную:
$y' = (3x^{\frac{4}{3}} + 3\ln x)' = (3x^{\frac{4}{3}})' + (3\ln x)'$

Найдем производную каждого слагаемого, используя правило для степенной функции и правило для натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$:
$(3x^{\frac{4}{3}})' = 3 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = 4x^{\frac{1}{3}}$
$(3\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$

Складываем полученные производные:
$y' = 4x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{x}$

Запишем результат с использованием корня:
$y' = 4\sqrt[3]{x} + \frac{3}{x}$

Ответ: $4\sqrt[3]{x} + \frac{3}{x}$

4) Найти производную функции $y = \frac{1}{x\sqrt{x}} + 5\cos\frac{x}{5}$.

Преобразуем первое слагаемое в степенной вид:
$\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{1+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$
Функция принимает вид: $y = x^{-\frac{3}{2}} + 5\cos\frac{x}{5}$

Найдем производную, используя правило дифференцирования суммы, правило для степенной функции и производную сложной функции для косинуса $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$y' = (x^{-\frac{3}{2}} + 5\cos\frac{x}{5})' = (x^{-\frac{3}{2}})' + (5\cos\frac{x}{5})'$

Найдем производную каждого слагаемого:
$(x^{-\frac{3}{2}})' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$
$(5\cos\frac{x}{5})' = 5 \cdot (-\sin\frac{x}{5}) \cdot (\frac{x}{5})' = -5\sin\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{5} = -\sin\frac{x}{5}$

Складываем полученные производные:
$y' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} - \sin\frac{x}{5}$

Запишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{3}{2x^{\frac{5}{2}}} - \sin\frac{x}{5} = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}} - \sin\frac{x}{5} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}} - \sin\frac{x}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} - \sin\frac{x}{5}$ или $-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}} - \sin\frac{x}{5}$

200. 1) $3x^2 - 4\sqrt[3]{x} + 2e^{\frac{x}{3}};$

2) $2x^3 + 3\sqrt{x} - \cos 2x;$

3) $\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \ln x^3;$

4) $2x^8 - 3\operatorname{tg} 3x - \frac{1}{3}\sin 3x;$

5) $8x^{\frac{3}{4}} + 7x^{\frac{1}{7}} - \cos 4x;$

6) $\frac{1}{5}\operatorname{ctg} x - 5x^{\frac{4}{5}} - \frac{1}{4}e^{2x}.$

1) Для нахождения производной функции $y = 3x^2 - 4\sqrt[3]{x} + 2e^{\frac{x}{3}}$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и таблицей производных.
Перепишем функцию, представив корень в виде степени: $y = 3x^2 - 4x^{1/3} + 2e^{\frac{1}{3}x}$.
Производная суммы функций равна сумме производных:
$y' = (3x^2)' - (4x^{1/3})' + (2e^{\frac{x}{3}})'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(e^{kx})' = ke^{kx}$.
$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
$(4x^{1/3})' = 4 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{-2/3}$.
$(2e^{\frac{x}{3}})' = 2 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 2 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}}$.
Собираем все вместе: $y' = 6x - \frac{4}{3}x^{-2/3} + \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}}$.
Ответ: $6x - \frac{4}{3}x^{-2/3} + \frac{2}{3}e^{\frac{x}{3}}$.

2) Найдём производную функции $y = 2x^3 + 3\sqrt{x} - \cos 2x$.
Перепишем корень в виде степени: $y = 2x^3 + 3x^{1/2} - \cos 2x$.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности, используя правила дифференцирования степенной функции и сложной тригонометрической функции:$y' = (2x^3)' + (3x^{1/2})' - (\cos 2x)'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$(2x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$.
$(3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{-1/2}$.
$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
Объединяем результаты: $y' = 6x^2 + \frac{3}{2}x^{-1/2} - (-2\sin 2x) = 6x^2 + \frac{3}{2}x^{-1/2} + 2\sin 2x$.
Ответ: $6x^2 + \frac{3}{2}x^{-1/2} + 2\sin 2x$.

3) Найдём производную функции $y = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \ln x^3$.
Представим функцию в виде степеней и упростим логарифм (при $x>0$): $y = x^{1/3} + x^{-1/3} + 3\ln x$.
Дифференцируем каждое слагаемое: $y' = (x^{1/3})' + (x^{-1/3})' + (3\ln x)'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
$(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
$(x^{-1/3})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$.
$(3\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.
Складываем полученные производные: $y' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{3}x^{-4/3} + \frac{3}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{3}x^{-4/3} + \frac{3}{x}$.

4) Найдём производную функции $y = 2x^8 - 3\text{tg }3x - \frac{1}{3}\sin 3x$.
Дифференцируем по частям: $y' = (2x^8)' - (3\text{tg }3x)' - (\frac{1}{3}\sin 3x)'$.
Применяем формулы производных для степенной функции и сложных тригонометрических функций: $(\text{tg}(kx))' = \frac{k}{\cos^2(kx)}$ и $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.
$(2x^8)' = 2 \cdot 8x^{8-1} = 16x^7$.
$(3\text{tg }3x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(3x)} \cdot (3x)' = 3 \cdot \frac{3}{\cos^2(3x)} = \frac{9}{\cos^2(3x)}$.
$(\frac{1}{3}\sin 3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = \frac{1}{3} \cdot 3\cos(3x) = \cos(3x)$.
Собираем все вместе, учитывая знаки: $y' = 16x^7 - \frac{9}{\cos^2(3x)} - \cos(3x)$.
Ответ: $16x^7 - \frac{9}{\cos^2(3x)} - \cos(3x)$.

5) Найдём производную функции $y = 8x^{\frac{3}{4}} + 7x^{\frac{1}{7}} - \cos 4x$.
Функция уже представлена в удобном для дифференцирования виде.
Находим производную как сумму производных: $y' = (8x^{\frac{3}{4}})' + (7x^{\frac{1}{7}})' - (\cos 4x)'$.
Используем формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$(8x^{\frac{3}{4}})' = 8 \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = 6x^{-\frac{1}{4}}$.
$(7x^{\frac{1}{7}})' = 7 \cdot \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = x^{-\frac{6}{7}}$.
$(\cos 4x)' = -\sin(4x) \cdot (4x)' = -4\sin 4x$.
Соединяем части: $y' = 6x^{-\frac{1}{4}} + x^{-\frac{6}{7}} - (-4\sin 4x) = 6x^{-\frac{1}{4}} + x^{-\frac{6}{7}} + 4\sin 4x$.
Ответ: $6x^{-\frac{1}{4}} + x^{-\frac{6}{7}} + 4\sin 4x$.

6) Найдём производную функции $y = \frac{1}{5}\text{ctg }x - 5x^{\frac{4}{5}} - \frac{1}{4}e^{2x}$.
Дифференцируем каждое слагаемое: $y' = (\frac{1}{5}\text{ctg }x)' - (5x^{\frac{4}{5}})' - (\frac{1}{4}e^{2x})'$.
Применяем соответствующие формулы производных: $(\text{ctg }x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(e^{kx})' = ke^{kx}$.
$(\frac{1}{5}\text{ctg }x)' = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{5\sin^2 x}$.
$(5x^{\frac{4}{5}})' = 5 \cdot \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = 4x^{-\frac{1}{5}}$.
$(\frac{1}{4}e^{2x})' = \frac{1}{4} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{4} \cdot 2e^{2x} = \frac{1}{2}e^{2x}$.
Объединяем результаты с учётом знаков: $y' = -\frac{1}{5\sin^2 x} - 4x^{-\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}e^{2x}$.
Ответ: $-\frac{1}{5\sin^2 x} - 4x^{-\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}e^{2x}$.

201. 1) $(x+3)^8$;

2) $(x-4)^7$;

3) $\sqrt[3]{x-2}$;

4) $\sqrt{x+5}$;

5) $\frac{1}{(x+1)^2}$;

6) $\frac{1}{(x-1)^3}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$;

8) $\frac{3}{\sqrt[3]{x-4}}$.

Для решения всех задач будем использовать формулу нахождения первообразной для сложной функции вида $f(x) = (kx+b)^n$ (где $k$ и $b$ - константы), которая является обобщением степенного правила интегрирования:
$F(x) = \int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная интегрирования. Во всех представленных задачах коэффициент $k=1$, что упрощает формулу до $F(x) = \frac{(x+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

1) Дана функция $f(x) = (x+3)^8$.
Это степенная функция вида $(x+b)^n$, где $b=3$ и $n=8$.
Применяем формулу для нахождения первообразной:
$F(x) = \int (x+3)^8 dx = \frac{(x+3)^{8+1}}{8+1} + C = \frac{(x+3)^9}{9} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(x+3)^9}{9} + C$.

2) Дана функция $f(x) = (x-4)^7$.
Это степенная функция вида $(x+b)^n$, где $b=-4$ и $n=7$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x-4)^7 dx = \frac{(x-4)^{7+1}}{7+1} + C = \frac{(x-4)^8}{8} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(x-4)^8}{8} + C$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x-2}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x-2)^{1/3}$.
Здесь $b=-2$ и $n=1/3$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x-2)^{1/3} dx = \frac{(x-2)^{1/3+1}}{1/3+1} + C = \frac{(x-2)^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4}(x-2)^{4/3} + C$.
Результат можно также записать в виде корня: $\frac{3}{4}\sqrt[3]{(x-2)^4} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}(x-2)^{4/3} + C$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{x+5}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x+5)^{1/2}$.
Здесь $b=5$ и $n=1/2$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x+5)^{1/2} dx = \frac{(x+5)^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{(x+5)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x+5)^{3/2} + C$.
Результат можно также записать в виде корня: $\frac{2}{3}\sqrt{(x+5)^3} + C$ или $\frac{2}{3}(x+5)\sqrt{x+5} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x+5)^{3/2} + C$.

5) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x+1)^{-2}$.
Здесь $b=1$ и $n=-2$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x+1)^{-2} dx = \frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x+1} + C$.

6) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x-1)^3}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x-1)^{-3}$.
Здесь $b=-1$ и $n=-3$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x-1)^{-3} dx = \frac{(x-1)^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{(x-1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2(x-1)^2} + C$.

7) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = (x+3)^{-1/2}$.
Здесь $b=3$ и $n=-1/2$.
Применяем формулу:
$F(x) = \int (x+3)^{-1/2} dx = \frac{(x+3)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{(x+3)^{1/2}}{1/2} + C = 2(x+3)^{1/2} + C = 2\sqrt{x+3} + C$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+3} + C$.

8) Дана функция $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x-4}}$.
Вынесем константу и представим функцию в виде степени: $f(x) = 3 \cdot (x-4)^{-1/3}$.
Для нахождения первообразной воспользуемся свойством $\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x) dx$ и уже известной формулой:
$F(x) = \int 3(x-4)^{-1/3} dx = 3 \int (x-4)^{-1/3} dx$.
Для интеграла $\int (x-4)^{-1/3} dx$ имеем $b=-4$ и $n=-1/3$.
$F(x) = 3 \cdot \left( \frac{(x-4)^{-1/3+1}}{-1/3+1} \right) + C = 3 \cdot \frac{(x-4)^{2/3}}{2/3} + C = 3 \cdot \frac{3}{2} (x-4)^{2/3} + C = \frac{9}{2}(x-4)^{2/3} + C$.
Результат можно также записать в виде корня: $\frac{9}{2}\sqrt[3]{(x-4)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{2}(x-4)^{2/3} + C$.

202. 1) $(3x + 1)^5;$

2) $(5x - 4)^6;$

3) $(1 - 3x)^7;$

4) $\frac{4}{(3x - 1)^2};$

5) $\frac{1}{(2 - 3x)^4};$

6) $\frac{1}{(4 - 3x)^5}.$

Для решения всех задач используется общая формула нахождения первообразной для функции вида $y=(kx+b)^n$, где $k$ и $b$ - постоянные, а $n \ne -1$. Первообразная (неопределенный интеграл) находится по формуле:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

1) Найти первообразную для функции $(3x+1)^5$.

Вычисляем интеграл $\int (3x+1)^5 dx$.

В данном случае $k=3$, $b=1$, $n=5$. Применяем формулу:

$\int (3x+1)^5 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^{5+1}}{5+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^6}{6} + C = \frac{(3x+1)^6}{18} + C$.

Ответ: $\frac{(3x+1)^6}{18} + C$

2) Найти первообразную для функции $(5x-4)^6$.

Вычисляем интеграл $\int (5x-4)^6 dx$.

Здесь $k=5$, $b=-4$, $n=6$.

$\int (5x-4)^6 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-4)^{6+1}}{6+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-4)^7}{7} + C = \frac{(5x-4)^7}{35} + C$.

Ответ: $\frac{(5x-4)^7}{35} + C$

3) Найти первообразную для функции $(1-3x)^7$.

Вычисляем интеграл $\int (1-3x)^7 dx$.

Здесь $k=-3$, $b=1$, $n=7$.

$\int (1-3x)^7 dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(1-3x)^{7+1}}{7+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(1-3x)^8}{8} + C = -\frac{(1-3x)^8}{24} + C$.

Ответ: $-\frac{(1-3x)^8}{24} + C$

4) Найти первообразную для функции $\frac{4}{(3x-1)^2}$.

Сначала представим функцию в виде степени: $4(3x-1)^{-2}$.

Вычисляем интеграл $\int 4(3x-1)^{-2} dx = 4\int (3x-1)^{-2} dx$.

Здесь $k=3$, $b=-1$, $n=-2$.

$4\int (3x-1)^{-2} dx = 4 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = 4 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{-1}}{-1}\right) + C = -\frac{4}{3}(3x-1)^{-1} + C = -\frac{4}{3(3x-1)} + C$.

Ответ: $-\frac{4}{3(3x-1)} + C$

5) Найти первообразную для функции $\frac{1}{(2-3x)^4}$.

Представим функцию в виде степени: $(2-3x)^{-4}$.

Вычисляем интеграл $\int (2-3x)^{-4} dx$.

Здесь $k=-3$, $b=2$, $n=-4$.

$\int (2-3x)^{-4} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2-3x)^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2-3x)^{-3}}{-3} + C = \frac{(2-3x)^{-3}}{9} + C = \frac{1}{9(2-3x)^3} + C$.

Ответ: $\frac{1}{9(2-3x)^3} + C$

6) Найти первообразную для функции $\frac{1}{(4-3x)^5}$.

Представим функцию в виде степени: $(4-3x)^{-5}$.

Вычисляем интеграл $\int (4-3x)^{-5} dx$.

Здесь $k=-3$, $b=4$, $n=-5$.

$\int (4-3x)^{-5} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(4-3x)^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(4-3x)^{-4}}{-4} + C = \frac{(4-3x)^{-4}}{12} + C = \frac{1}{12(4-3x)^4} + C$.

Ответ: $\frac{1}{12(4-3x)^4} + C$

203. 1) $\sqrt[4]{2-8x}$;

2) $\sqrt[3]{4x+1}$;

3) $\sqrt{3x+2}$;

4) $\frac{1}{\sqrt{4x+1}};

5) $\frac{7}{\sqrt[4]{3-8x}};

6) $\frac{7}{\sqrt[3]{2-9x}}$.

1)

Данное выражение $\sqrt[4]{2-8x}$ содержит корень четной степени (четвертой). Функция корня четной степени определена только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Составим и решим соответствующее неравенство:
$2 - 8x \ge 0$

Перенесем 2 в правую часть неравенства, изменив знак:
$-8x \ge -2$

Разделим обе части неравенства на -8. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-2}{-8}$
$x \le \frac{1}{4}$

Таким образом, областью определения функции является числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}]$

2)

Данное выражение $\sqrt[3]{4x+1}$ содержит корень нечетной степени (третьей). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $4x+1$ является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

3)

Выражение $\sqrt{3x+2}$ является квадратным корнем, то есть корнем четной степени (второй). Как и в первом пункте, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:
$3x + 2 \ge 0$

$3x \ge -2$

$x \ge -\frac{2}{3}$

Областью определения функции является промежуток $[-\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $[-\frac{2}{3}; +\infty)$

4)

В выражении $\frac{1}{\sqrt{4x+1}}$ корень четной степени находится в знаменателе. Это накладывает два ограничения:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4x+1 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{4x+1} \neq 0$.

Объединение этих двух условий дает одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$4x + 1 > 0$

Решим это неравенство:
$4x > -1$
$x > -\frac{1}{4}$

Областью определения функции является открытый луч $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; +\infty)$

5)

В выражении $\frac{7}{\sqrt[4]{3-8x}}$ корень четной степени (четвертой) также находится в знаменателе. Аналогично предыдущему заданию, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:
$3 - 8x > 0$

$-8x > -3$

Разделим на -8, меняя знак неравенства:
$x < \frac{-3}{-8}$
$x < \frac{3}{8}$

Областью определения функции является промежуток $(-\infty; \frac{3}{8})$.

Ответ: $(-\infty; \frac{3}{8})$

6)

Выражение $\frac{7}{\sqrt[3]{2-9x}}$ содержит корень нечетной степени в знаменателе. Корень нечетной степени сам по себе определен для любых действительных чисел.

Единственное ограничение — знаменатель не может быть равен нулю.
$\sqrt[3]{2-9x} \neq 0$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части в третью степень:
$(\sqrt[3]{2-9x})^3 \neq 0^3$
$2 - 9x \neq 0$

Решим это уравнение:
$-9x \neq -2$
$x \neq \frac{2}{9}$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = \frac{2}{9}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}; +\infty)$

204. 1) $\sin^2 x$;

2) $\cos^2 x$;

3) $\cos^3 x$;

4) $\sin^4 x$;

5) $e^{2x^2}$;

6) $e^{-x^4}$;

7) $\ln 3x^4$;

8) $\ln (-2x)$.

1) Чтобы найти производную функции $y = \sin^2 x$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Запишем функцию в виде $y = (\sin x)^2$.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^2$, а внутренняя функция $u(x) = \sin x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 2u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
По цепному правилу, производная исходной функции $y'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Подставляем наши значения: $y' = 2(\sin x) \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, мы можем упростить выражение.
$y' = \sin(2x)$.
Ответ: $2 \sin x \cos x$ или $\sin(2x)$.

2) Для нахождения производной функции $y = \cos^2 x$ или $y = (\cos x)^2$ применим цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^2$, а внутренняя функция $u(x) = \cos x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 2u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
По цепному правилу: $y' = 2(\cos x) \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, можно записать ответ в другом виде.
$y' = -\sin(2x)$.
Ответ: $-2 \sin x \cos x$ или $-\sin(2x)$.

3) Для нахождения производной функции $y = \cos^3 x$ или $y = (\cos x)^3$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^3$, а внутренняя функция $u(x) = \cos x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 3u^2$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
По цепному правилу: $y' = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$.
Ответ: $-3 \cos^2 x \sin x$.

4) Для нахождения производной функции $y = \sin^4 x$ или $y = (\sin x)^4$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^4$, а внутренняя функция $u(x) = \sin x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 4u^3$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
По цепному правилу: $y' = 4(\sin x)^3 \cdot \cos x = 4 \sin^3 x \cos x$.
Ответ: $4 \sin^3 x \cos x$.

5) Для нахождения производной функции $y = e^{2x^2}$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u(x) = 2x^2$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$.
По цепному правилу: $y' = e^{2x^2} \cdot 4x = 4x e^{2x^2}$.
Ответ: $4x e^{2x^2}$.

6) Для нахождения производной функции $y = e^{-x^4}$ используем цепное правило.
Пусть внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u(x) = -x^4$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (-x^4)' = -4x^3$.
По цепному правилу: $y' = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3 e^{-x^4}$.
Ответ: $-4x^3 e^{-x^4}$.

7) Для нахождения производной функции $y = \ln(3x^4)$ используем цепное правило. Область определения функции задается условием $3x^4 > 0$, что верно для всех $x \neq 0$.
Пусть внешняя функция $f(u) = \ln u$, а внутренняя функция $u(x) = 3x^4$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (3x^4)' = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$.
По цепному правилу: $y' = \frac{1}{3x^4} \cdot 12x^3 = \frac{12x^3}{3x^4} = \frac{4}{x}$.
Также можно было сначала упростить логарифм: $y = \ln 3 + \ln(x^4) = \ln 3 + 4\ln|x|$. Производная $(\ln 3)'=0$, а производная $(4\ln|x|)' = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$.
Ответ: $\frac{4}{x}$.

8) Для нахождения производной функции $y = \ln(-2x)$ используем цепное правило.
Функция определена, когда аргумент логарифма положителен: $-2x > 0$, что означает $x < 0$.
Пусть внешняя функция $f(u) = \ln u$, а внутренняя функция $u(x) = -2x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (-2x)' = -2$.
По цепному правилу: $y' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{-2}{-2x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$.

205. 1) $e^{\frac{1}{x}}$;

2) $e^{-\frac{2}{x}}$;

3) $\ln(2x-1)$;

4) $\ln 3x$;

5) $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$;

6) $\cos 4x$;

7) $\operatorname{tg}(3x+3)$;

8) $\sin\left(\frac{2x}{3}+1\right)$.

1) Для нахождения производной функции $y = e^{\frac{1}{x}}$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В данном случае внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $g(x) = \frac{1}{x}$.
Сначала найдем производные этих функций:
Производная внешней функции: $f'(u) = (e^u)' = e^u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

2) Для нахождения производной функции $y = e^{-\frac{2}{x}}$ применим правило дифференцирования сложной функции.
Здесь внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $g(x) = -\frac{2}{x}$.
Находим производные этих функций:
$f'(u) = (e^u)' = e^u$.
$g'(x) = \left(-\frac{2}{x}\right)' = (-2x^{-1})' = -2 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.
Согласно цепному правилу, производная исходной функции равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции:
$y' = e^{-\frac{2}{x}} \cdot \frac{2}{x^2} = \frac{2e^{-\frac{2}{x}}}{x^2}$.
Ответ: $\frac{2e^{-\frac{2}{x}}}{x^2}$

3) Для нахождения производной функции $y = \ln(2x-1)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя функция $g(x) = 2x-1$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
$g'(x) = (2x-1)' = 2$.
Применяем цепное правило:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2x-1} \cdot 2 = \frac{2}{2x-1}$.
Ответ: $\frac{2}{2x-1}$

4) Для нахождения производной функции $y = \ln(3x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя функция $g(x) = 3x$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u}$.
$g'(x) = (3x)' = 3$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$

5) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg} u$, внутренняя функция $g(x) = \frac{x}{2}$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.
$g'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{2}$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$.
Ответ: $\frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$

6) Для нахождения производной функции $y = \cos(4x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \cos u$, внутренняя функция $g(x) = 4x$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
$g'(x) = (4x)' = 4$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$.
Ответ: $-4\sin(4x)$

7) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{tg}(3x+3)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg} u$, внутренняя функция $g(x) = 3x+3$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.
$g'(x) = (3x+3)' = 3$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos^2(3x+3)} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(3x+3)}$.
Ответ: $\frac{3}{\cos^2(3x+3)}$

8) Для нахождения производной функции $y = \sin\left(\frac{2x}{3} + 1\right)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \sin u$, внутренняя функция $g(x) = \frac{2x}{3} + 1$.
Находим их производные:
$f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.
$g'(x) = \left(\frac{2x}{3} + 1\right)' = \frac{2}{3}$.
По цепному правилу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos\left(\frac{2x}{3} + 1\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\cos\left(\frac{2x}{3} + 1\right)$.
Ответ: $\frac{2}{3}\cos\left(\frac{2x}{3} + 1\right)$

206. 1) $cos(1 - \frac{x}{2});$

2) $sin(2 - \frac{3x}{4});$

3) $sin\frac{x+3}{2};$

4) $cos\frac{1-x}{3};$

5) $cos\frac{4-5x}{3};$

6) $sin\frac{2x+3}{5};$

7) $sin^3 2x;$

8) $cos^4 3x;$

9) $ctg^2 4x;$

10) $tg^4 \frac{x}{2}.$

1) $\cos(1 - \frac{x}{2})$

Для нахождения первообразной (неопределенного интеграла) функции $y = \cos(1 - \frac{x}{2})$ воспользуемся общей формулой интегрирования $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

В данном случае, аргумент косинуса равен $1 - \frac{x}{2}$, поэтому коэффициенты $k = -\frac{1}{2}$ и $b = 1$.

Применяя формулу, получаем:

$\int \cos(1 - \frac{x}{2})dx = \frac{1}{-1/2}\sin(1 - \frac{x}{2}) + C = -2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$.

Проверить результат можно методом замены переменной. Пусть $u = 1 - \frac{x}{2}$, тогда $du = -\frac{1}{2}dx$, откуда $dx = -2du$.

$\int \cos(u)(-2du) = -2\int \cos(u)du = -2\sin(u) + C = -2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$.

Ответ: $-2\sin(1 - \frac{x}{2}) + C$

2) $\sin(2 - \frac{3x}{4})$

Находим первообразную для $y = \sin(2 - \frac{3x}{4})$. Используем общую формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.

Здесь $k = -\frac{3}{4}$ и $b = 2$.

$\int \sin(2 - \frac{3x}{4})dx = -\frac{1}{-3/4}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C = \frac{4}{3}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C$.

Ответ: $\frac{4}{3}\cos(2 - \frac{3x}{4}) + C$

3) $\sin\frac{x+3}{2}$

Находим первообразную для $y = \sin(\frac{x+3}{2}) = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})$.

Используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $k = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{3}{2}$.

$\int \sin(\frac{x+3}{2})dx = -\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x+3}{2}) + C = -2\cos(\frac{x+3}{2}) + C$.

Ответ: $-2\cos(\frac{x+3}{2}) + C$

4) $\cos\frac{1-x}{3}$

Находим первообразную для $y = \cos(\frac{1-x}{3}) = \cos(-\frac{1}{3}x + \frac{1}{3})$.

Используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{3}$.

$\int \cos(\frac{1-x}{3})dx = \frac{1}{-1/3}\sin(\frac{1-x}{3}) + C = -3\sin(\frac{1-x}{3}) + C$.

Ответ: $-3\sin(\frac{1-x}{3}) + C$

5) $\cos\frac{4-5x}{3}$

Находим первообразную для $y = \cos(\frac{4-5x}{3}) = \cos(-\frac{5}{3}x + \frac{4}{3})$.

Используем формулу $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$, где $k = -\frac{5}{3}$ и $b = \frac{4}{3}$.

$\int \cos(\frac{4-5x}{3})dx = \frac{1}{-5/3}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C = -\frac{3}{5}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C$.

Ответ: $-\frac{3}{5}\sin(\frac{4-5x}{3}) + C$

6) $\sin\frac{2x+3}{5}$

Находим первообразную для $y = \sin(\frac{2x+3}{5}) = \sin(\frac{2}{5}x + \frac{3}{5})$.

Используем формулу $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $k = \frac{2}{5}$ и $b = \frac{3}{5}$.

$\int \sin(\frac{2x+3}{5})dx = -\frac{1}{2/5}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C = -\frac{5}{2}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C$.

Ответ: $-\frac{5}{2}\cos(\frac{2x+3}{5}) + C$

7) $\sin^3 2x$

Для нахождения первообразной $y = \sin^3(2x)$ используем формулу понижения степени. Формула тройного угла для синуса: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. Отсюда выразим $\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$.

Пусть $\alpha = 2x$, тогда $\sin^3(2x) = \frac{3\sin(2x) - \sin(6x)}{4}$.

Теперь интегрируем это выражение:

$\int \sin^3(2x)dx = \int (\frac{3}{4}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(6x))dx = \frac{3}{4}\int \sin(2x)dx - \frac{1}{4}\int \sin(6x)dx$

$= \frac{3}{4}(-\frac{1}{2}\cos(2x)) - \frac{1}{4}(-\frac{1}{6}\cos(6x)) + C = -\frac{3}{8}\cos(2x) + \frac{1}{24}\cos(6x) + C$.

Ответ: $-\frac{3}{8}\cos(2x) + \frac{1}{24}\cos(6x) + C$

8) $\cos^4 3x$

Для нахождения первообразной $y = \cos^4(3x)$ воспользуемся формулами понижения степени. Сначала используем формулу для квадрата косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.

$\cos^4(3x) = (\cos^2(3x))^2 = (\frac{1+\cos(2 \cdot 3x)}{2})^2 = (\frac{1+\cos(6x)}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x))$.

Снова применяем формулу понижения степени для $\cos^2(6x)$:

$\cos^2(6x) = \frac{1+\cos(2 \cdot 6x)}{2} = \frac{1+\cos(12x)}{2}$.

Подставляем обратно в выражение:

$\cos^4(3x) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(6x) + \frac{1+\cos(12x)}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} + 2\cos(6x) + \frac{1}{2}\cos(12x)) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(6x) + \frac{1}{8}\cos(12x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \cos^4(3x)dx = \int (\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(6x) + \frac{1}{8}\cos(12x))dx$

$= \frac{3}{8}x + \frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sin(6x)) + \frac{1}{8}(\frac{1}{12}\sin(12x)) + C = \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{96}\sin(12x) + C$.

Ответ: $\frac{3}{8}x + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{96}\sin(12x) + C$

9) $\text{ctg}^2 4x$

Для нахождения первообразной $y = \text{ctg}^2(4x)$ используем тригонометрическое тождество $\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} - 1$.

Таким образом, $\text{ctg}^2(4x) = \frac{1}{\sin^2(4x)} - 1$.

Интегрируем это выражение:

$\int \text{ctg}^2(4x)dx = \int (\frac{1}{\sin^2(4x)} - 1)dx = \int \frac{dx}{\sin^2(4x)} - \int dx$.

Первообразная для $\frac{1}{\sin^2(kx)}$ равна $-\frac{1}{k}\text{ctg}(kx)$. В нашем случае $k=4$.

Следовательно, $\int \text{ctg}^2(4x)dx = -\frac{1}{4}\text{ctg}(4x) - x + C$.

Ответ: $-\frac{1}{4}\text{ctg}(4x) - x + C$

10) $\text{tg}^4 \frac{x}{2}$

Для нахождения первообразной $y = \text{tg}^4(\frac{x}{2})$ преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.

$\int \text{tg}^4(\frac{x}{2})dx = \int \text{tg}^2(\frac{x}{2}) \cdot \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx = \int \text{tg}^2(\frac{x}{2})(\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} - 1)dx$

$= \int (\frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})} - \text{tg}^2(\frac{x}{2}))dx = \int \frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}dx - \int \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx$.

Для первого интеграла сделаем замену $u = \text{tg}(\frac{x}{2})$. Тогда $du = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}dx$, откуда $\frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2})} = 2du$.

$\int \frac{\text{tg}^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}dx = \int u^2(2du) = \frac{2}{3}u^3 + C_1 = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) + C_1$.

Второй интеграл: $\int \text{tg}^2(\frac{x}{2})dx = \int (\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} - 1)dx = 2\text{tg}(\frac{x}{2}) - x + C_2$.

Собирая все вместе, получаем:

$\int \text{tg}^4(\frac{x}{2})dx = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - (2\text{tg}(\frac{x}{2}) - x) + C = \frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - 2\text{tg}(\frac{x}{2}) + x + C$.

Ответ: $\frac{2}{3}\text{tg}^3(\frac{x}{2}) - 2\text{tg}(\frac{x}{2}) + x + C$

207. 1) $e^{\frac{1}{x-1}};$

2) $\ln(3-4x^2);$

3) $e^{\frac{2}{x+1}};$

4) $e^{\frac{1}{2x+3}};$

5) $\ln \frac{2}{3-4x^2};$

6) $\ln \frac{3}{2x^2+7x}.$

1) Найдём производную функции $y = e^{\frac{1}{x-1}}$.

Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1}{x-1}$. Производная такой функции находится по правилу дифференцирования сложной функции (цепному правилу): $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{1}{x-1} = (x-1)^{-1}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$u'(x) = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Теперь подставим найденную производную $u'(x)$ в формулу для производной сложной функции:

$y' = (e^{\frac{1}{x-1}})' = e^{\frac{1}{x-1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}$.

Ответ: $-\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}$.

2) Найдём производную функции $y = \ln(3-4x^2)$.

Это сложная функция вида $y = \ln(u(x))$, где $u(x) = 3-4x^2$. Производная такой функции находится по формуле: $(\ln(u(x)))' = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = 3-4x^2$.

$u'(x) = (3-4x^2)' = (3)' - (4x^2)' = 0 - 4 \cdot 2x = -8x$.

Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной сложной функции:

$y' = (\ln(3-4x^2))' = \frac{-8x}{3-4x^2}$.

Ответ: $\frac{-8x}{3-4x^2}$.

3) Найдём производную функции $y = e^{\frac{2}{x+1}}$.

Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{2}{x+1}$. Применяем цепное правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{2}{x+1} = 2(x+1)^{-1}$.

$u'(x) = (2(x+1)^{-1})' = 2 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-1-1} \cdot (x+1)' = -2(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{2}{(x+1)^2}$.

Теперь подставим найденную производную в формулу:

$y' = (e^{\frac{2}{x+1}})' = e^{\frac{2}{x+1}} \cdot \left(-\frac{2}{(x+1)^2}\right) = -\frac{2e^{\frac{2}{x+1}}}{(x+1)^2}$.

Ответ: $-\frac{2e^{\frac{2}{x+1}}}{(x+1)^2}$.

4) Найдём производную функции $y = e^{\frac{1}{2x+3}}$.

Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1}{2x+3}$. Применяем цепное правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{1}{2x+3} = (2x+3)^{-1}$.

$u'(x) = ((2x+3)^{-1})' = -1 \cdot (2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)' = -(2x+3)^{-2} \cdot 2 = -\frac{2}{(2x+3)^2}$.

Теперь подставим найденную производную в формулу:

$y' = (e^{\frac{1}{2x+3}})' = e^{\frac{1}{2x+3}} \cdot \left(-\frac{2}{(2x+3)^2}\right) = -\frac{2e^{\frac{1}{2x+3}}}{(2x+3)^2}$.

Ответ: $-\frac{2e^{\frac{1}{2x+3}}}{(2x+3)^2}$.

5) Найдём производную функции $y = \ln\frac{2}{3-4x^2}$.

Для упрощения воспользуемся свойством логарифма частного: $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.

$y = \ln(2) - \ln(3-4x^2)$.

Теперь найдём производную полученного выражения:

$y' = (\ln(2) - \ln(3-4x^2))' = (\ln(2))' - (\ln(3-4x^2))'$.

Производная константы $\ln(2)$ равна нулю. Производная второго слагаемого $(\ln(3-4x^2))'$ была найдена в пункте 2):

$(\ln(3-4x^2))' = \frac{-8x}{3-4x^2}$.

Подставляем полученные значения:

$y' = 0 - \left(\frac{-8x}{3-4x^2}\right) = \frac{8x}{3-4x^2}$.

Ответ: $\frac{8x}{3-4x^2}$.

6) Найдём производную функции $y = \ln\frac{3}{2x^2+7x}$.

Воспользуемся свойством логарифма частного: $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.

$y = \ln(3) - \ln(2x^2+7x)$.

Теперь найдём производную этого выражения:

$y' = (\ln(3) - \ln(2x^2+7x))' = (\ln(3))' - (\ln(2x^2+7x))'$.

Производная константы $\ln(3)$ равна нулю. Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования натурального логарифма сложной функции:

$(\ln(2x^2+7x))' = \frac{1}{2x^2+7x} \cdot (2x^2+7x)' = \frac{4x+7}{2x^2+7x}$.

Подставляем полученные значения:

$y' = 0 - \frac{4x+7}{2x^2+7x} = -\frac{4x+7}{2x^2+7x}$.

Ответ: $-\frac{4x+7}{2x^2+7x}$.

208. 1) $5^x$;

2) $4^x$;

3) $9^{x+2}$;

4) $7^{x-3}$;

5) $\log_5 x$;

6) $\log_4 x$;

7) $\lg(x-1)$;

8) $\lg(x+3)$.

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, наиболее вероятной задачей является нахождение области определения для каждой из предложенных функций (обозначается как $D(y)$).

1) Функция $y = 5^x$ является показательной. Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) определена для всех действительных значений аргумента $x$.

Таким образом, область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $y = 4^x$ также является показательной. Основание $4 > 0$ и $4 \neq 1$. Следовательно, функция определена для всех действительных значений $x$.

Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) Функция $y = 9^{x+2}$ является показательной функцией. Выражение в показателе степени, $x+2$, определено для любого действительного числа $x$. Поэтому и вся функция определена для любого $x$.

Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $y = 7^{x-3}$ является показательной функцией. Выражение в показателе степени, $x-3$, определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, и вся функция определена для любого $x$.

Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

5) Функция $y = \log_5 x$ является логарифмической. Область определения логарифмической функции $y = \log_a z$ задается условием, что аргумент логарифма $z$ должен быть строго положительным.

В данном случае, аргумент равен $x$, поэтому должно выполняться неравенство $x > 0$.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.

6) Функция $y = \log_4 x$ также является логарифмической. Аргумент логарифма $x$ должен быть строго больше нуля.

Следовательно, $x > 0$.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.

7) Функция $y = \lg(x-1)$ является логарифмической (десятичный логарифм). Аргумент логарифма, в данном случае $x-1$, должен быть строго положительным.

Решим неравенство: $x - 1 > 0$.

Перенеся $-1$ в правую часть неравенства, получаем: $x > 1$.

Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

8) Функция $y = \lg(x+3)$ является логарифмической. Аргумент логарифма, $x+3$, должен быть строго положительным.

Решим неравенство: $x + 3 > 0$.

Перенеся $3$ в правую часть неравенства, получаем: $x > -3$.

Ответ: $D(y) = (-3; +\infty)$.