Номер 207, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 207, страница 88.
№207 (с. 88)
Условие. №207 (с. 88)
скриншот условия

207. 1) $e^{\frac{1}{x-1}};$
2) $\ln(3-4x^2);$
3) $e^{\frac{2}{x+1}};$
4) $e^{\frac{1}{2x+3}};$
5) $\ln \frac{2}{3-4x^2};$
6) $\ln \frac{3}{2x^2+7x}.$
Решение 1. №207 (с. 88)






Решение 2. №207 (с. 88)


Решение 3. №207 (с. 88)
1) Найдём производную функции $y = e^{\frac{1}{x-1}}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1}{x-1}$. Производная такой функции находится по правилу дифференцирования сложной функции (цепному правилу): $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{1}{x-1} = (x-1)^{-1}$.
Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
$u'(x) = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x-1)^2}$.
Теперь подставим найденную производную $u'(x)$ в формулу для производной сложной функции:
$y' = (e^{\frac{1}{x-1}})' = e^{\frac{1}{x-1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}$.
Ответ: $-\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}$.
2) Найдём производную функции $y = \ln(3-4x^2)$.
Это сложная функция вида $y = \ln(u(x))$, где $u(x) = 3-4x^2$. Производная такой функции находится по формуле: $(\ln(u(x)))' = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = 3-4x^2$.
$u'(x) = (3-4x^2)' = (3)' - (4x^2)' = 0 - 4 \cdot 2x = -8x$.
Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной сложной функции:
$y' = (\ln(3-4x^2))' = \frac{-8x}{3-4x^2}$.
Ответ: $\frac{-8x}{3-4x^2}$.
3) Найдём производную функции $y = e^{\frac{2}{x+1}}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{2}{x+1}$. Применяем цепное правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{2}{x+1} = 2(x+1)^{-1}$.
$u'(x) = (2(x+1)^{-1})' = 2 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-1-1} \cdot (x+1)' = -2(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{2}{(x+1)^2}$.
Теперь подставим найденную производную в формулу:
$y' = (e^{\frac{2}{x+1}})' = e^{\frac{2}{x+1}} \cdot \left(-\frac{2}{(x+1)^2}\right) = -\frac{2e^{\frac{2}{x+1}}}{(x+1)^2}$.
Ответ: $-\frac{2e^{\frac{2}{x+1}}}{(x+1)^2}$.
4) Найдём производную функции $y = e^{\frac{1}{2x+3}}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1}{2x+3}$. Применяем цепное правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{1}{2x+3} = (2x+3)^{-1}$.
$u'(x) = ((2x+3)^{-1})' = -1 \cdot (2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)' = -(2x+3)^{-2} \cdot 2 = -\frac{2}{(2x+3)^2}$.
Теперь подставим найденную производную в формулу:
$y' = (e^{\frac{1}{2x+3}})' = e^{\frac{1}{2x+3}} \cdot \left(-\frac{2}{(2x+3)^2}\right) = -\frac{2e^{\frac{1}{2x+3}}}{(2x+3)^2}$.
Ответ: $-\frac{2e^{\frac{1}{2x+3}}}{(2x+3)^2}$.
5) Найдём производную функции $y = \ln\frac{2}{3-4x^2}$.
Для упрощения воспользуемся свойством логарифма частного: $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.
$y = \ln(2) - \ln(3-4x^2)$.
Теперь найдём производную полученного выражения:
$y' = (\ln(2) - \ln(3-4x^2))' = (\ln(2))' - (\ln(3-4x^2))'$.
Производная константы $\ln(2)$ равна нулю. Производная второго слагаемого $(\ln(3-4x^2))'$ была найдена в пункте 2):
$(\ln(3-4x^2))' = \frac{-8x}{3-4x^2}$.
Подставляем полученные значения:
$y' = 0 - \left(\frac{-8x}{3-4x^2}\right) = \frac{8x}{3-4x^2}$.
Ответ: $\frac{8x}{3-4x^2}$.
6) Найдём производную функции $y = \ln\frac{3}{2x^2+7x}$.
Воспользуемся свойством логарифма частного: $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.
$y = \ln(3) - \ln(2x^2+7x)$.
Теперь найдём производную этого выражения:
$y' = (\ln(3) - \ln(2x^2+7x))' = (\ln(3))' - (\ln(2x^2+7x))'$.
Производная константы $\ln(3)$ равна нулю. Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования натурального логарифма сложной функции:
$(\ln(2x^2+7x))' = \frac{1}{2x^2+7x} \cdot (2x^2+7x)' = \frac{4x+7}{2x^2+7x}$.
Подставляем полученные значения:
$y' = 0 - \frac{4x+7}{2x^2+7x} = -\frac{4x+7}{2x^2+7x}$.
Ответ: $-\frac{4x+7}{2x^2+7x}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 207 расположенного на странице 88 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №207 (с. 88), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.