Номер 207, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 207, страница 88.

Условие.

207. 1) $e^{\frac{1}{x-1}};$

2) $\ln(3-4x^2);$

3) $e^{\frac{2}{x+1}};$

4) $e^{\frac{1}{2x+3}};$

5) $\ln \frac{2}{3-4x^2};$

6) $\ln \frac{3}{2x^2+7x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдём производную функции $y = e^{\frac{1}{x-1}}$.

Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1}{x-1}$. Производная такой функции находится по правилу дифференцирования сложной функции (цепному правилу): $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{1}{x-1} = (x-1)^{-1}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$u'(x) = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Теперь подставим найденную производную $u'(x)$ в формулу для производной сложной функции:

$y' = (e^{\frac{1}{x-1}})' = e^{\frac{1}{x-1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}$.

Ответ: $-\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}$.

2) Найдём производную функции $y = \ln(3-4x^2)$.

Это сложная функция вида $y = \ln(u(x))$, где $u(x) = 3-4x^2$. Производная такой функции находится по формуле: $(\ln(u(x)))' = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = 3-4x^2$.

$u'(x) = (3-4x^2)' = (3)' - (4x^2)' = 0 - 4 \cdot 2x = -8x$.

Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной сложной функции:

$y' = (\ln(3-4x^2))' = \frac{-8x}{3-4x^2}$.

Ответ: $\frac{-8x}{3-4x^2}$.

3) Найдём производную функции $y = e^{\frac{2}{x+1}}$.

Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{2}{x+1}$. Применяем цепное правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{2}{x+1} = 2(x+1)^{-1}$.

$u'(x) = (2(x+1)^{-1})' = 2 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-1-1} \cdot (x+1)' = -2(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{2}{(x+1)^2}$.

Теперь подставим найденную производную в формулу:

$y' = (e^{\frac{2}{x+1}})' = e^{\frac{2}{x+1}} \cdot \left(-\frac{2}{(x+1)^2}\right) = -\frac{2e^{\frac{2}{x+1}}}{(x+1)^2}$.

Ответ: $-\frac{2e^{\frac{2}{x+1}}}{(x+1)^2}$.

4) Найдём производную функции $y = e^{\frac{1}{2x+3}}$.

Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1}{2x+3}$. Применяем цепное правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u(x) = \frac{1}{2x+3} = (2x+3)^{-1}$.

$u'(x) = ((2x+3)^{-1})' = -1 \cdot (2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)' = -(2x+3)^{-2} \cdot 2 = -\frac{2}{(2x+3)^2}$.

Теперь подставим найденную производную в формулу:

$y' = (e^{\frac{1}{2x+3}})' = e^{\frac{1}{2x+3}} \cdot \left(-\frac{2}{(2x+3)^2}\right) = -\frac{2e^{\frac{1}{2x+3}}}{(2x+3)^2}$.

Ответ: $-\frac{2e^{\frac{1}{2x+3}}}{(2x+3)^2}$.

5) Найдём производную функции $y = \ln\frac{2}{3-4x^2}$.

Для упрощения воспользуемся свойством логарифма частного: $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.

$y = \ln(2) - \ln(3-4x^2)$.

Теперь найдём производную полученного выражения:

$y' = (\ln(2) - \ln(3-4x^2))' = (\ln(2))' - (\ln(3-4x^2))'$.

Производная константы $\ln(2)$ равна нулю. Производная второго слагаемого $(\ln(3-4x^2))'$ была найдена в пункте 2):

$(\ln(3-4x^2))' = \frac{-8x}{3-4x^2}$.

Подставляем полученные значения:

$y' = 0 - \left(\frac{-8x}{3-4x^2}\right) = \frac{8x}{3-4x^2}$.

Ответ: $\frac{8x}{3-4x^2}$.

6) Найдём производную функции $y = \ln\frac{3}{2x^2+7x}$.

Воспользуемся свойством логарифма частного: $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.

$y = \ln(3) - \ln(2x^2+7x)$.

Теперь найдём производную этого выражения:

$y' = (\ln(3) - \ln(2x^2+7x))' = (\ln(3))' - (\ln(2x^2+7x))'$.

Производная константы $\ln(3)$ равна нулю. Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования натурального логарифма сложной функции:

$(\ln(2x^2+7x))' = \frac{1}{2x^2+7x} \cdot (2x^2+7x)' = \frac{4x+7}{2x^2+7x}$.

Подставляем полученные значения:

$y' = 0 - \frac{4x+7}{2x^2+7x} = -\frac{4x+7}{2x^2+7x}$.

Ответ: $-\frac{4x+7}{2x^2+7x}$.