Номер 209, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 209, страница 89.

Условие.

209. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0, если:

1) $f(x) = x - \cos x;$

2) $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x;$

3) $f(x) = \ln(x+1) - 2x;$

4) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$

5) $f(x) = 2^x + 2^{-x};$

6) $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3;$

7) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$

8) $f(x) = x + \ln(2x+1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$1 + \sin x = 0$

$\sin x = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x - \sin x)' = (\frac{1}{2}x)' - (\sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{2} - \cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = \ln(x + 1) - 2x$.

Область определения функции: $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции для $\ln(x+1)$:

$f'(x) = (\ln(x + 1) - 2x)' = (\ln(x + 1))' - (2x)' = \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' - 2 = \frac{1}{x+1} - 2$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{x+1} - 2 = 0$

$\frac{1}{x+1} = 2$

$1 = 2(x+1)$

$1 = 2x + 2$

$2x = -1$

$x = -0.5$

Полученное значение $x = -0.5$ удовлетворяет области определения ($ -0.5 > -1 $).

Ответ: $x = -0.5$.

4) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.

Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$

$\frac{2}{x+3} = 1$

$2 = x + 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).

Ответ: $x = -1$.

5) Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования показательной функции и правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (2^x + 2^{-x})' = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x\ln 2 + 2^{-x}\ln 2 \cdot (-1) = 2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2 = 0$

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$

Поскольку $\ln 2 \neq 0$, то должно выполняться равенство:

$2^x - 2^{-x} = 0$

$2^x = 2^{-x}$

Отсюда следует, что показатели степеней равны:

$x = -x$

$2x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

6) Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3$.

Найдем производную функции. Заметим, что $\ln 3$ является константой:

$f'(x) = (3^{2x} - 2x\ln 3)' = (3^{2x})' - (2x\ln 3)' = 3^{2x}\ln 3 \cdot (2x)' - 2\ln 3 = 3^{2x}\ln 3 \cdot 2 - 2\ln 3$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2 \cdot 3^{2x}\ln 3 - 2\ln 3 = 0$

$2\ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$

Поскольку $2\ln 3 \neq 0$, то:

$3^{2x} - 1 = 0$

$3^{2x} = 1$

$3^{2x} = 3^0$

$2x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

7) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.

Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$

$\frac{2}{x+3} = 1$

$2 = x + 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).

Ответ: $x = -1$.

8) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.

Область определения функции: $2x + 1 > 0$, то есть $2x > -1$, $x > -0.5$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + \ln(2x + 1))' = (x)' + (\ln(2x+1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1}$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 + \frac{2}{2x+1} = 0$

$\frac{2}{2x+1} = -1$

$2 = -(2x+1)$

$2 = -2x - 1$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Проверим, входит ли найденный корень в область определения функции. Условие $x > -0.5$ не выполняется, так как $-1.5 < -0.5$.

Следовательно, уравнение не имеет решений в области определения функции.

Ответ: решений нет.