Номер 209, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 209, страница 89.

№209 (с. 89)
Условие. №209 (с. 89)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Условие

209. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0, если:

1) $f(x) = x - \cos x;$

2) $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x;$

3) $f(x) = \ln(x+1) - 2x;$

4) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$

5) $f(x) = 2^x + 2^{-x};$

6) $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3;$

7) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$

8) $f(x) = x + \ln(2x+1).$

Решение 1. №209 (с. 89)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 (продолжение 6) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 (продолжение 7) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 1 (продолжение 8)
Решение 2. №209 (с. 89)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 89, номер 209, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №209 (с. 89)

1) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$1 + \sin x = 0$

$\sin x = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x - \sin x)' = (\frac{1}{2}x)' - (\sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{2} - \cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = \ln(x + 1) - 2x$.

Область определения функции: $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции для $\ln(x+1)$:

$f'(x) = (\ln(x + 1) - 2x)' = (\ln(x + 1))' - (2x)' = \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' - 2 = \frac{1}{x+1} - 2$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{x+1} - 2 = 0$

$\frac{1}{x+1} = 2$

$1 = 2(x+1)$

$1 = 2x + 2$

$2x = -1$

$x = -0.5$

Полученное значение $x = -0.5$ удовлетворяет области определения ($ -0.5 > -1 $).

Ответ: $x = -0.5$.

4) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.

Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$

$\frac{2}{x+3} = 1$

$2 = x + 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).

Ответ: $x = -1$.

5) Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования показательной функции и правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (2^x + 2^{-x})' = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x\ln 2 + 2^{-x}\ln 2 \cdot (-1) = 2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2 = 0$

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$

Поскольку $\ln 2 \neq 0$, то должно выполняться равенство:

$2^x - 2^{-x} = 0$

$2^x = 2^{-x}$

Отсюда следует, что показатели степеней равны:

$x = -x$

$2x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

6) Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3$.

Найдем производную функции. Заметим, что $\ln 3$ является константой:

$f'(x) = (3^{2x} - 2x\ln 3)' = (3^{2x})' - (2x\ln 3)' = 3^{2x}\ln 3 \cdot (2x)' - 2\ln 3 = 3^{2x}\ln 3 \cdot 2 - 2\ln 3$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2 \cdot 3^{2x}\ln 3 - 2\ln 3 = 0$

$2\ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$

Поскольку $2\ln 3 \neq 0$, то:

$3^{2x} - 1 = 0$

$3^{2x} = 1$

$3^{2x} = 3^0$

$2x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

7) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.

Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$

$\frac{2}{x+3} = 1$

$2 = x + 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).

Ответ: $x = -1$.

8) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.

Область определения функции: $2x + 1 > 0$, то есть $2x > -1$, $x > -0.5$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + \ln(2x + 1))' = (x)' + (\ln(2x+1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1}$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 + \frac{2}{2x+1} = 0$

$\frac{2}{2x+1} = -1$

$2 = -(2x+1)$

$2 = -2x - 1$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Проверим, входит ли найденный корень в область определения функции. Условие $x > -0.5$ не выполняется, так как $-1.5 < -0.5$.

Следовательно, уравнение не имеет решений в области определения функции.

Ответ: решений нет.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 209 расположенного на странице 89 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №209 (с. 89), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.