Номер 209, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 209, страница 89.
№209 (с. 89)
Условие. №209 (с. 89)
скриншот условия

209. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0, если:
1) $f(x) = x - \cos x;$
2) $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x;$
3) $f(x) = \ln(x+1) - 2x;$
4) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$
5) $f(x) = 2^x + 2^{-x};$
6) $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3;$
7) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$
8) $f(x) = x + \ln(2x+1).$
Решение 1. №209 (с. 89)








Решение 2. №209 (с. 89)


Решение 3. №209 (с. 89)
1) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$f'(x) = 0$
$1 + \sin x = 0$
$\sin x = -1$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x - \sin x)' = (\frac{1}{2}x)' - (\sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$\frac{1}{2} - \cos x = 0$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Решениями этого уравнения являются:
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3) Дана функция $f(x) = \ln(x + 1) - 2x$.
Область определения функции: $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции для $\ln(x+1)$:
$f'(x) = (\ln(x + 1) - 2x)' = (\ln(x + 1))' - (2x)' = \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' - 2 = \frac{1}{x+1} - 2$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$\frac{1}{x+1} - 2 = 0$
$\frac{1}{x+1} = 2$
$1 = 2(x+1)$
$1 = 2x + 2$
$2x = -1$
$x = -0.5$
Полученное значение $x = -0.5$ удовлетворяет области определения ($ -0.5 > -1 $).
Ответ: $x = -0.5$.
4) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.
Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$
$\frac{2}{x+3} = 1$
$2 = x + 3$
$x = -1$
Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).
Ответ: $x = -1$.
5) Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования показательной функции и правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (2^x + 2^{-x})' = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x\ln 2 + 2^{-x}\ln 2 \cdot (-1) = 2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2 = 0$
$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$
Поскольку $\ln 2 \neq 0$, то должно выполняться равенство:
$2^x - 2^{-x} = 0$
$2^x = 2^{-x}$
Отсюда следует, что показатели степеней равны:
$x = -x$
$2x = 0$
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.
6) Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3$.
Найдем производную функции. Заметим, что $\ln 3$ является константой:
$f'(x) = (3^{2x} - 2x\ln 3)' = (3^{2x})' - (2x\ln 3)' = 3^{2x}\ln 3 \cdot (2x)' - 2\ln 3 = 3^{2x}\ln 3 \cdot 2 - 2\ln 3$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$2 \cdot 3^{2x}\ln 3 - 2\ln 3 = 0$
$2\ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$
Поскольку $2\ln 3 \neq 0$, то:
$3^{2x} - 1 = 0$
$3^{2x} = 1$
$3^{2x} = 3^0$
$2x = 0$
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.
7) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.
Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$
$\frac{2}{x+3} = 1$
$2 = x + 3$
$x = -1$
Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).
Ответ: $x = -1$.
8) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.
Область определения функции: $2x + 1 > 0$, то есть $2x > -1$, $x > -0.5$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + \ln(2x + 1))' = (x)' + (\ln(2x+1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1}$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$1 + \frac{2}{2x+1} = 0$
$\frac{2}{2x+1} = -1$
$2 = -(2x+1)$
$2 = -2x - 1$
$2x = -3$
$x = -1.5$
Проверим, входит ли найденный корень в область определения функции. Условие $x > -0.5$ не выполняется, так как $-1.5 < -0.5$.
Следовательно, уравнение не имеет решений в области определения функции.
Ответ: решений нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 209 расположенного на странице 89 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №209 (с. 89), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.