Страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

209. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0, если:

1) $f(x) = x - \cos x;$

2) $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x;$

3) $f(x) = \ln(x+1) - 2x;$

4) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$

5) $f(x) = 2^x + 2^{-x};$

6) $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3;$

7) $f(x) = 2\ln(x+3) - x;$

8) $f(x) = x + \ln(2x+1).$

1) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$1 + \sin x = 0$

$\sin x = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x - \sin x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x - \sin x)' = (\frac{1}{2}x)' - (\sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{2} - \cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = \ln(x + 1) - 2x$.

Область определения функции: $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции для $\ln(x+1)$:

$f'(x) = (\ln(x + 1) - 2x)' = (\ln(x + 1))' - (2x)' = \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' - 2 = \frac{1}{x+1} - 2$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{1}{x+1} - 2 = 0$

$\frac{1}{x+1} = 2$

$1 = 2(x+1)$

$1 = 2x + 2$

$2x = -1$

$x = -0.5$

Полученное значение $x = -0.5$ удовлетворяет области определения ($ -0.5 > -1 $).

Ответ: $x = -0.5$.

4) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.

Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$

$\frac{2}{x+3} = 1$

$2 = x + 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).

Ответ: $x = -1$.

5) Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования показательной функции и правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (2^x + 2^{-x})' = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x\ln 2 + 2^{-x}\ln 2 \cdot (-1) = 2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2^x\ln 2 - 2^{-x}\ln 2 = 0$

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$

Поскольку $\ln 2 \neq 0$, то должно выполняться равенство:

$2^x - 2^{-x} = 0$

$2^x = 2^{-x}$

Отсюда следует, что показатели степеней равны:

$x = -x$

$2x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

6) Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x\ln 3$.

Найдем производную функции. Заметим, что $\ln 3$ является константой:

$f'(x) = (3^{2x} - 2x\ln 3)' = (3^{2x})' - (2x\ln 3)' = 3^{2x}\ln 3 \cdot (2x)' - 2\ln 3 = 3^{2x}\ln 3 \cdot 2 - 2\ln 3$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2 \cdot 3^{2x}\ln 3 - 2\ln 3 = 0$

$2\ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$

Поскольку $2\ln 3 \neq 0$, то:

$3^{2x} - 1 = 0$

$3^{2x} = 1$

$3^{2x} = 3^0$

$2x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

7) Дана функция $f(x) = 2\ln(x + 3) - x$.

Область определения функции: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x + 3) - x)' = 2(\ln(x+3))' - (x)' = 2 \cdot \frac{1}{x+3} - 1 = \frac{2}{x+3} - 1$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\frac{2}{x+3} - 1 = 0$

$\frac{2}{x+3} = 1$

$2 = x + 3$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет области определения ($ -1 > -3 $).

Ответ: $x = -1$.

8) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.

Область определения функции: $2x + 1 > 0$, то есть $2x > -1$, $x > -0.5$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + \ln(2x + 1))' = (x)' + (\ln(2x+1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1}$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 + \frac{2}{2x+1} = 0$

$\frac{2}{2x+1} = -1$

$2 = -(2x+1)$

$2 = -2x - 1$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Проверим, входит ли найденный корень в область определения функции. Условие $x > -0.5$ не выполняется, так как $-1.5 < -0.5$.

Следовательно, уравнение не имеет решений в области определения функции.

Ответ: решений нет.

Найти производную функции (210–214).

210. 1) $ \sqrt[3]{\frac{2x-1}{3}} + \ln \frac{2x+3}{5}; $

2) $ \sqrt{\frac{1-x}{6}} - 2\ln \frac{2-5x}{3}; $

3) $ 2e^{\frac{1-x}{3}} + 3\cos \frac{1-x}{2}; $

4) $ 5\sin \frac{2x+3}{4} - 4\sqrt[3]{\frac{1}{x-1}}; $

5) $ \sqrt[3]{\frac{1}{2-x}} - 3\cos \frac{x-2}{3}; $

6) $ 6\sqrt[3]{\frac{1}{(2-x)^2}} + 4e^{\frac{3-5x}{2}}. $

1)

Дана функция: $y = \sqrt[3]{\frac{2x-1}{3}} + \ln\frac{2x+3}{5}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде, удобном для дифференцирования: $y = \left(\frac{1}{3}(2x-1)\right)^{1/3} + \ln(2x+3) - \ln 5$.

Производная функции является суммой производных ее слагаемых:

$y' = \left(\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{1/3}\right)' + (\ln(2x+3))' - (\ln 5)'$.

1. Найдем производную первого слагаемого, используя правило дифференцирования сложной функции (степенная функция $u^{1/3}$, где $u = \frac{2x-1}{3}$):

$\left(\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{1/3}\right)' = \frac{1}{3}\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{\frac{1}{3}-1} \cdot \left(\frac{2x-1}{3}\right)' = \frac{1}{3}\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{-2/3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\left(\frac{3}{2x-1}\right)^{2/3} = \frac{2}{9} \frac{3^{2/3}}{(2x-1)^{2/3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{9}}{9\sqrt[3]{(2x-1)^2}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{3(2x-1)^2}}$.

2. Найдем производную второго слагаемого (сложная функция, натуральный логарифм $\ln u$, где $u = 2x+3$):

$(\ln(2x+3))' = \frac{1}{2x+3} \cdot (2x+3)' = \frac{2}{2x+3}$.

3. Производная третьего слагаемого, являющегося константой, равна нулю: $(\ln 5)' = 0$.

Суммируя полученные результаты, получаем производную исходной функции:

$y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{3(2x-1)^2}} + \frac{2}{2x+3}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{3(2x-1)^2}} + \frac{2}{2x+3}$.

2)

Дана функция: $y = \sqrt{\frac{1-x}{6}} - 2\ln\frac{2-5x}{3}$.

Перепишем функцию: $y = \left(\frac{1-x}{6}\right)^{1/2} - 2(\ln(2-5x) - \ln 3)$.

Найдем производную $y'$:

$y' = \left(\left(\frac{1-x}{6}\right)^{1/2}\right)' - (2\ln(2-5x))' + (2\ln 3)'$.

1. Производная первого слагаемого (степенная функция $u^{1/2}$, где $u = \frac{1-x}{6}$):

$\left(\left(\frac{1-x}{6}\right)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}\left(\frac{1-x}{6}\right)^{-1/2} \cdot \left(\frac{1-x}{6}\right)' = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{6}{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{12}\sqrt{\frac{6}{1-x}} = -\frac{\sqrt{6}}{12\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{6(1-x)}}$.

2. Производная второго слагаемого (логарифмическая функция $\ln u$, где $u=2-5x$):

$-(2\ln(2-5x))' = -2 \cdot \frac{1}{2-5x} \cdot (2-5x)' = -2 \cdot \frac{-5}{2-5x} = \frac{10}{2-5x}$.

3. Производная константы $2\ln 3$ равна 0.

Объединяем результаты:

$y' = -\frac{1}{2\sqrt{6(1-x)}} + \frac{10}{2-5x}$.

Ответ: $y' = \frac{10}{2-5x} - \frac{1}{2\sqrt{6(1-x)}}$.

3)

Дана функция: $y = 2e^{\frac{1-x}{3}} + 3\cos\frac{1-x}{2}$.

Находим производную как сумму производных:

$y' = (2e^{\frac{1-x}{3}})' + (3\cos\frac{1-x}{2})'$.

1. Производная первого слагаемого (экспоненциальная функция $e^u$, где $u = \frac{1-x}{3}$):

$(2e^{\frac{1-x}{3}})' = 2e^{\frac{1-x}{3}} \cdot \left(\frac{1-x}{3}\right)' = 2e^{\frac{1-x}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}}$.

2. Производная второго слагаемого (тригонометрическая функция $\cos u$, где $u = \frac{1-x}{2}$):

$(3\cos\frac{1-x}{2})' = 3 \cdot \left(-\sin\frac{1-x}{2}\right) \cdot \left(\frac{1-x}{2}\right)' = -3\sin\frac{1-x}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2}$.

Складываем результаты:

$y' = -\frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}} + \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2} - \frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}}$.

4)

Дана функция: $y = 5\sin\frac{2x+3}{4} - 4\sqrt{\frac{1}{x-1}}$.

Перепишем второе слагаемое в виде степени: $4\sqrt{\frac{1}{x-1}} = 4(x-1)^{-1/2}$.

Находим производную:

$y' = \left(5\sin\frac{2x+3}{4}\right)' - \left(4(x-1)^{-1/2}\right)'$.

1. Производная первого слагаемого (тригонометрическая функция $\sin u$, где $u = \frac{2x+3}{4}$):

$\left(5\sin\frac{2x+3}{4}\right)' = 5\cos\frac{2x+3}{4} \cdot \left(\frac{2x+3}{4}\right)' = 5\cos\frac{2x+3}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{2}\cos\frac{2x+3}{4}$.

2. Производная второго слагаемого (степенная функция $u^{-1/2}$, где $u = x-1$):

$-\left(4(x-1)^{-1/2}\right)' = -4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x-1)^{-1/2-1} \cdot (x-1)' = 2(x-1)^{-3/2} \cdot 1 = \frac{2}{(x-1)^{3/2}} = \frac{2}{(x-1)\sqrt{x-1}}$.

Объединяем результаты:

$y' = \frac{5}{2}\cos\frac{2x+3}{4} + \frac{2}{(x-1)\sqrt{x-1}}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{2}\cos\frac{2x+3}{4} + \frac{2}{(x-1)\sqrt{x-1}}$.

5)

Дана функция: $y = \sqrt[3]{\frac{1}{2-x}} - 3\cos\frac{x-2}{3}$.

Перепишем функцию в виде степеней: $y = (2-x)^{-1/3} - 3\cos\frac{x-2}{3}$.

Находим производную:

$y' = ((2-x)^{-1/3})' - \left(3\cos\frac{x-2}{3}\right)'$.

1. Производная первого слагаемого (степенная функция $u^{-1/3}$, где $u = 2-x$):

$((2-x)^{-1/3})' = -\frac{1}{3}(2-x)^{-1/3-1} \cdot (2-x)' = -\frac{1}{3}(2-x)^{-4/3} \cdot (-1) = \frac{1}{3(2-x)^{4/3}} = \frac{1}{3(2-x)\sqrt[3]{2-x}}$.

2. Производная второго слагаемого (тригонометрическая функция $\cos u$, где $u = \frac{x-2}{3}$):

$-\left(3\cos\frac{x-2}{3}\right)' = -3 \cdot \left(-\sin\frac{x-2}{3}\right) \cdot \left(\frac{x-2}{3}\right)' = 3\sin\frac{x-2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \sin\frac{x-2}{3}$.

Складываем результаты:

$y' = \frac{1}{3(2-x)\sqrt[3]{2-x}} + \sin\frac{x-2}{3}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{3(2-x)\sqrt[3]{2-x}} + \sin\frac{x-2}{3}$.

6)

Дана функция: $y = 6\sqrt[3]{\frac{1}{(2-x)^2}} + 4e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Перепишем функцию в виде степеней: $y = 6(2-x)^{-2/3} + 4e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Находим производную:

$y' = (6(2-x)^{-2/3})' + \left(4e^{\frac{3-5x}{2}}\right)'$.

1. Производная первого слагаемого (степенная функция $u^{-2/3}$, где $u = 2-x$):

$(6(2-x)^{-2/3})' = 6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)(2-x)^{-2/3-1} \cdot (2-x)' = -4(2-x)^{-5/3} \cdot (-1) = 4(2-x)^{-5/3} = \frac{4}{(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}}$.

2. Производная второго слагаемого (экспоненциальная функция $e^u$, где $u = \frac{3-5x}{2}$):

$\left(4e^{\frac{3-5x}{2}}\right)' = 4e^{\frac{3-5x}{2}} \cdot \left(\frac{3-5x}{2}\right)' = 4e^{\frac{3-5x}{2}} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -10e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Объединяем результаты:

$y' = \frac{4}{(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}} - 10e^{\frac{3-5x}{2}}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}} - 10e^{\frac{3-5x}{2}}$.

211. 1) $log_2(\sqrt{x^3 + 4});$

2) $2^{x^2 + 3x}, x;$

3) $\text{tg}^2 2x;$

4) $\ln \frac{x-2}{x+2}.$

1) Чтобы найти производную функции $y = \log_2(x^3 + 4)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции. Функция имеет вид $y = \log_a(u(x))$, где основание $a=2$ и внутренняя функция $u(x) = x^3 + 4$.

Формула производной для логарифмической функции с произвольным основанием: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$: $u'(x) = (x^3 + 4)' = (x^3)' + (4)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.

Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной:

$y' = \frac{3x^2}{(x^3 + 4)\ln 2}$.

Ответ: $\frac{3x^2}{(x^3 + 4)\ln 2}$

2) Чтобы найти производную функции $y = 2^{x^2 + 3x}$, мы используем правило дифференцирования сложной показательной функции. Функция имеет вид $y = a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени (внутренняя функция) $u(x) = x^2 + 3x$.

Формула производной для показательной функции: $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.

Сначала найдем производную показателя степени $u(x)$: $u'(x) = (x^2 + 3x)' = (x^2)' + (3x)' = 2x + 3$.

Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу производной:

$y' = 2^{x^2 + 3x} \cdot \ln 2 \cdot (2x + 3)$.

Ответ: $(2x + 3) \cdot 2^{x^2 + 3x} \ln 2$

3) Чтобы найти производную функции $y = \tg^2(2x)$, мы применяем цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) несколько раз. Функцию можно представить как $y = (u(v(x)))^2$, где $v(x) = 2x$, $u(v) = \tg(v)$.

Сначала применим правило для степенной функции $f(z) = z^2$, где $z = \tg(2x)$: $y' = ((\tg(2x))^2)' = 2 \cdot \tg^{2-1}(2x) \cdot (\tg(2x))' = 2\tg(2x) \cdot (\tg(2x))'$.

Теперь найдем производную от $\tg(2x)$. Здесь $v=2x$ — внутренняя функция. Производная тангенса $(\tg v)' = \frac{1}{\cos^2 v} \cdot v'$. Производная $v(x) = 2x$ равна $v' = 2$.

Следовательно, $(\tg(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Подставим это обратно в выражение для $y'$:

$y' = 2\tg(2x) \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{4\tg(2x)}{\cos^2(2x)}$.

Ответ: $\frac{4\tg(2x)}{\cos^2(2x)}$

4) Чтобы найти производную функции $y = \ln\frac{x-2}{x+2}$, можно пойти двумя путями. Проще всего сначала упростить выражение с помощью свойств логарифмов.

Используем свойство логарифма частного $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$: $y = \ln(x-2) - \ln(x+2)$.

Теперь найдем производную разности функций. Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

$y' = (\ln(x-2))' - (\ln(x+2))' = \frac{(x-2)'}{x-2} - \frac{(x+2)'}{x+2}$.

Так как $(x-2)' = 1$ и $(x+2)' = 1$, получаем:

$y' = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{x^2 - 4} = \frac{4}{x^2 - 4}$.

Ответ: $\frac{4}{x^2-4}$

212. 1) $\sqrt{x^2+1} \cdot \text{ctg } 4x;$

2) $e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x;$

3) $\sqrt{x} \cdot \sin 4x;$

4) $e^{3-2x} \cdot \cos (3-2x).$

1) Найдем производную функции $y = \sqrt{x^2+1} \cdot \operatorname{ctg} 4x$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x^2+1}$ и $v(x) = \operatorname{ctg} 4x$.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой функции, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Производная $u(x) = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}$:

$u'(x) = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Производная $v(x) = \operatorname{ctg} 4x$:

$v'(x) = (\operatorname{ctg} 4x)' = -\frac{1}{\sin^2(4x)} \cdot (4x)' = -\frac{4}{\sin^2(4x)}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \operatorname{ctg} 4x + \sqrt{x^2+1} \cdot \left(-\frac{4}{\sin^2(4x)}\right) = \frac{x \operatorname{ctg} 4x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sin^2(4x)}$.

Ответ: $y' = \frac{x \operatorname{ctg} 4x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sin^2(4x)}$.

2) Найдем производную функции $y = e^{\frac{x}{2}} \sin^3 3x$.

Это произведение двух функций: $u(x) = e^{\frac{x}{2}}$ и $v(x) = \sin^3 3x$.

Используем правило произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$ по цепному правилу.

Производная $u(x) = e^{\frac{x}{2}}$:

$u'(x) = (e^{\frac{x}{2}})' = e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.

Производная $v(x) = \sin^3 3x = (\sin 3x)^3$:

$v'(x) = ((\sin 3x)^3)' = 3(\sin 3x)^2 \cdot (\sin 3x)' = 3\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\sin^2(3x)\cos(3x)$.

Подставим производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \cdot \sin^3 3x + e^{\frac{x}{2}} \cdot 9\sin^2(3x)\cos(3x)$.

Вынесем общий множитель $e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x)$ за скобки для упрощения:

$y' = e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x) \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right)$.

Ответ: $y' = e^{\frac{x}{2}}\sin^2(3x) \left(\frac{1}{2}\sin 3x + 9\cos 3x\right)$.

3) Найдем производную функции $y = \sqrt{x} \cdot \sin 4x$.

Это произведение функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \sin 4x$.

По правилу произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные функций.

Производная $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная $v(x) = \sin 4x$ (по цепному правилу):

$v'(x) = (\sin 4x)' = \cos(4x) \cdot (4x)' = 4\cos(4x)$.

Подставим в формулу произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin 4x + \sqrt{x} \cdot 4\cos(4x) = \frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\cos(4x)$.

Ответ: $y' = \frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}\cos(4x)$.

4) Найдем производную функции $y = e^{3-2x} \cdot \cos(3-2x)$.

Функция является произведением $u(x) = e^{3-2x}$ и $v(x) = \cos(3-2x)$.

Применим правило произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные, используя цепное правило. Аргумент у обеих функций одинаковый: $g(x) = 3-2x$, его производная $g'(x) = -2$.

Производная $u(x) = e^{3-2x}$:

$u'(x) = (e^{3-2x})' = e^{3-2x} \cdot (3-2x)' = -2e^{3-2x}$.

Производная $v(x) = \cos(3-2x)$:

$v'(x) = (\cos(3-2x))' = -\sin(3-2x) \cdot (3-2x)' = -\sin(3-2x) \cdot (-2) = 2\sin(3-2x)$.

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = (-2e^{3-2x}) \cdot \cos(3-2x) + e^{3-2x} \cdot 2\sin(3-2x)$.

Вынесем общий множитель $2e^{3-2x}$ за скобки:

$y' = 2e^{3-2x}(-\cos(3-2x) + \sin(3-2x)) = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.

Ответ: $y' = 2e^{3-2x}(\sin(3-2x) - \cos(3-2x))$.

213. 1) $ \frac{1 + \cos x}{\sin x} $;

2) $ \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1} $;

3) $ \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4x + 1} $;

4) $ \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $.

1)

Дана функция $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $\sin x$ обращается в ноль:

$\sin x = 0$

Это уравнение имеет решения:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{ \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.

2)

Дана функция $y = \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1}$.

Эта функция имеет два ограничения:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$3x \geq 0$

$x \geq 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$3^x + 1 \neq 0$

Показательная функция $3^x$ всегда строго положительна для любого действительного $x$, то есть $3^x > 0$.

Следовательно, $3^x + 1 > 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль.

Объединяя условия, получаем, что единственным ограничением является $x \geq 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

3)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4x + 1}$.

Это рациональная функция. Ее область определения — все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$x^2 + 4x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Итак, $x_1 = -2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3}$.

Эти значения $x$ должны быть исключены из области определения.

Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{ -2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3} \}$.

4)

Дана функция $y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.

Это рациональная функция. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 + x + 1 = 0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю. Более того, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$.

Поскольку знаменатель никогда не равен нулю, а числитель определен для всех $x$, область определения функции — это все действительные числа.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

214. 1) $\frac{e^x - e^{-x}}{x}$;

2) $\frac{2^x - \log_2 x}{x \ln 2}$;

3) $\frac{\sin x - \cos x}{x}$;

4) $\frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.

Найдем производную функции $y = \frac{e^x - e^{-x}}{x}$.

Данная функция является частным двух функций: $u(x) = e^x - e^{-x}$ и $v(x) = x$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (e^x - e^{-x})' = (e^x)' - (e^{-x})' = e^x - e^{-x} \cdot (-1) = e^x + e^{-x}$

$v'(x) = (x)' = 1$

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot x - (e^x - e^{-x}) \cdot 1}{x^2}$

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{xe^x + xe^{-x} - e^x + e^{-x}}{x^2} = \frac{(x-1)e^x + (x+1)e^{-x}}{x^2}$

Ответ: $\frac{(x-1)e^x + (x+1)e^{-x}}{x^2}$

Найдем производную функции $y = \frac{2^x - \log_2 x}{x \ln 2}$.

Это частное двух функций: $u(x) = 2^x - \log_2 x$ и $v(x) = x \ln 2$. Применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (2^x - \log_2 x)' = (2^x)' - (\log_2 x)' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}$

$v'(x) = (x \ln 2)' = \ln 2 \cdot (x)' = \ln 2$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\left(2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}\right)(x \ln 2) - (2^x - \log_2 x)(\ln 2)}{(x \ln 2)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

Числитель = $(2^x \ln 2)(x \ln 2) - \left(\frac{1}{x \ln 2}\right)(x \ln 2) - 2^x \ln 2 + (\log_2 x)(\ln 2)$

Числитель = $x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 1 - 2^x \ln 2 + \log_2 x \ln 2$

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$, получаем $\log_2 x \ln 2 = \ln x$.

Числитель = $x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 - 1 + \ln x$

Таким образом, производная равна:

$y' = \frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$

Ответ: $\frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$

Найдем производную функции $y = \frac{\sin x - \cos x}{x}$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного для функций $u(x) = \sin x - \cos x$ и $v(x) = x$.

Найдем производные:

$u'(x) = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot x - (\sin x - \cos x) \cdot 1}{x^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{x \cos x + x \sin x - \sin x + \cos x}{x^2} = \frac{(x+1)\cos x + (x-1)\sin x}{x^2}$

Ответ: $\frac{(x+1)\cos x + (x-1)\sin x}{x^2}$

Найдем производную функции $y = \frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.

Прежде чем дифференцировать, упростим выражение. Используем тригонометрические тождества:

$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Подставим эти тождества в числитель:

$1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$

Теперь подставим это выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x - \cos x}$

При условии, что $\sin x - \cos x \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ - целое число), мы можем сократить дробь:

$y = \sin x - \cos x$

Теперь найти производную этой упрощенной функции гораздо легче:

$y' = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$

Производная существует на той же области определения, что и исходная функция.

Ответ: $\cos x + \sin x$

215. Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно 0, если:

1) $f(x) = x^2 - 6x - 8\ln x$

2) $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln (x + 2)$

3) $f(x) = \sqrt{x + 1} - \ln (x - 2)$

4) $f(x) = \ln(x - 1) + 2\ln(x + 2)$

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 6x - 8\ln x$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием для натурального логарифма: $x > 0$.

Находим производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (x^2)' - (6x)' - (8\ln x)' = 2x - 6 - 8 \cdot \frac{1}{x} = 2x - 6 - \frac{8}{x}$.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти значения $x$, при которых $f'(x)=0$:

$2x - 6 - \frac{8}{x} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (это возможно, так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 0$):

$x(2x - 6 - \frac{8}{x}) = 0 \cdot x$

$2x^2 - 6x - 8 = 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -4, а сумма равна 3. Это числа 4 и -1.

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверяем, входят ли найденные корни в область определения функции ($x > 0$).

Корень $x = 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Следовательно, производная равна нулю только при одном значении $x$.

Ответ: $x=4$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x+2)$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условиями: $x \ge 0$ (для квадратного корня) и $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$. Пересечение этих двух условий дает $x \ge 0$.

Находим производную функции $f'(x)$. Обратите внимание, что область определения производной будет $x>0$ из-за появления $\sqrt{x}$ в знаменателе.

$f'(x) = (2\sqrt{x})' - (3\ln(x+2))' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot (x+2)' = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2}$.

Приравниваем производную к нулю:

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x+2} = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{x+2}$

По свойству пропорции получаем: $x+2 = 3\sqrt{x}$.

Чтобы решить это иррациональное уравнение, возведем обе части в квадрат. Условие $x+2 \ge 0$ выполняется, так как $x>0$.

$(x+2)^2 = (3\sqrt{x})^2$

$x^2 + 4x + 4 = 9x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Оба корня ($x=1$ и $x=4$) входят в область определения производной ($x>0$) и исходной функции. Так как мы возводили в квадрат, необходимо выполнить проверку, подставив корни в уравнение до возведения в квадрат: $x+2 = 3\sqrt{x}$.

Проверка для $x=1$: $1+2 = 3\sqrt{1} \Rightarrow 3=3$. Верно.

Проверка для $x=4$: $4+2 = 3\sqrt{4} \Rightarrow 6=3 \cdot 2 \Rightarrow 6=6$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x=1, x=4$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{x+1} - \ln(x-2)$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условиями: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$ и $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$. Пересечение этих условий дает $x > 2$.

Находим производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x+1})' - (\ln(x-2))' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{x-2}$.

Приравниваем производную к нулю:

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{x-2} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{1}{x-2}$

$x-2 = 2\sqrt{x+1}$

Возведем обе части в квадрат. Условие $x-2 > 0$ выполняется в ОДЗ.

$(x-2)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x+1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

$x^2 - 8x = 0$

Выносим $x$ за скобки: $x(x-8) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Проверяем, входят ли корни в область определения функции ($x > 2$).

Корень $x = 0$ не удовлетворяет условию $x > 2$.

Корень $x = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Ответ: $x=8$.

4) Дана функция $f(x) = \ln(x-1) + 2\ln(x+2)$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условиями: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ и $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$. Пересечение этих условий дает $x > 1$.

Находим производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (\ln(x-1))' + (2\ln(x+2))' = \frac{1}{x-1} + 2 \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2}$.

Приравниваем производную к нулю:

$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2} = 0$

Приводим дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+2)$:

$\frac{1(x+2) + 2(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 0$

$\frac{x+2+2x-2}{(x-1)(x+2)} = 0$

$\frac{3x}{(x-1)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Знаменатель не равен нулю в ОДЗ.

$3x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Проверяем, входит ли найденный корень в область определения функции ($x > 1$).

Корень $x = 0$ не удовлетворяет условию $x > 1$.

Следовательно, значений $x$, при которых производная равна нулю, не существует.

Ответ: решений нет.

216. Решить неравенство $f'(x) > 0$, если:

1) $f(x) = e^x - x;$

2) $f(x) = 6x + \cos 3x;$

3) $f(x) = \ln x - x;$

4) $f(x) = x - 2\ln x;$

5) $f(x) = 6x - x\sqrt{x};$

6) $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1} - 3x.$

1) Дана функция $f(x) = e^x - x$.

Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)' = e^x - 1$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$e^x - 1 > 0$

$e^x > 1$

Поскольку $1 = e^0$, получаем $e^x > e^0$.

Так как показательная функция $y=e^x$ является строго возрастающей, неравенство равносильно $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = 6x + \cos(3x)$.

Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (6x + \cos(3x))' = (6x)' + (\cos(3x))' = 6 - \sin(3x) \cdot 3 = 6 - 3\sin(3x)$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$6 - 3\sin(3x) > 0$

$6 > 3\sin(3x)$

$2 > \sin(3x)$

Область значений функции синус: $[-1, 1]$. Это означает, что $\sin(3x) \le 1$ для любого действительного значения $x$.

Поскольку $1 < 2$, неравенство $\sin(3x) < 2$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = \ln x - x$.

Область определения функции задается условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\ln x - x)' = (\ln x)' - (x)' = \frac{1}{x} - 1$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ с учетом области определения:

$\frac{1}{x} - 1 > 0$

$\frac{1}{x} > 1$

Так как из области определения $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства:

$1 > x$, или $x < 1$.

Совмещая с областью определения $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

4) Дана функция $f(x) = x - 2\ln x$.

Область определения функции задается условием $x > 0$ из-за наличия логарифма.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x - 2\ln x)' = (x)' - (2\ln x)' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{x}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ в области $x > 0$:

$1 - \frac{2}{x} > 0$

$1 > \frac{2}{x}$

Поскольку $x > 0$, умножаем обе части на $x$:

$x > 2$.

Это решение удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

5) Дана функция $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$.

Область определения функции задается условием $x \ge 0$ из-за наличия квадратного корня.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $f(x) = 6x - x^{3/2}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (6x - x^{3/2})' = 6 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ в области $x \ge 0$:

$6 - \frac{3\sqrt{x}}{2} > 0$

$6 > \frac{3\sqrt{x}}{2}$

$12 > 3\sqrt{x}$

$4 > \sqrt{x}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$16 > x$, или $x < 16$.

Совмещая с областью определения $x \ge 0$, получаем итоговое решение: $0 \le x < 16$.

Ответ: $x \in [0, 16)$.

6) Дана функция $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1-3x}$.

Сначала упростим выражение под корнем: $x+1-3x = 1-2x$. Таким образом, функция имеет вид $f(x) = (x+1)\sqrt{1-2x}$.

Область определения функции задается условием $1 - 2x \ge 0$, откуда $1 \ge 2x$, то есть $x \le \frac{1}{2}$.

Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

Пусть $u = x+1$ и $v = \sqrt{1-2x}$. Тогда $u' = 1$ и $v' = (\sqrt{1-2x})' = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}} \cdot (1-2x)' = \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = -\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$.

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{1-2x} + (x+1) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right) = \sqrt{1-2x} - \frac{x+1}{\sqrt{1-2x}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{1-2x})^2 - (x+1)}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-2x - x - 1}{\sqrt{1-2x}} = \frac{-3x}{\sqrt{1-2x}}$.

Производная определена при $1-2x > 0$, то есть $x < \frac{1}{2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{-3x}{\sqrt{1-2x}} > 0$.

Знаменатель $\sqrt{1-2x}$ положителен в области определения производной ($x < \frac{1}{2}$). Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя:

$-3x > 0$

Разделив на -3, меняем знак неравенства:

$x < 0$.

Пересечение этого решения с областью определения ($x \le \frac{1}{2}$) дает $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

217. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции f(x) равно 0, если:

1) $f(x) = 5(\sin x - \cos x) + \sqrt{2} \cos 5x$;

2) $f(x) = 1 - \cos 2x + \sin x - \cos x - x$.

1) Дана функция $f(x) = 5(\sin x - \cos x) + \sqrt{2}\cos(5x)$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем саму производную $f'(x)$.

Используя правила дифференцирования суммы и производных тригонометрических функций, получаем:

$f'(x) = (5\sin x - 5\cos x + \sqrt{2}\cos(5x))'$

$f'(x) = 5(\sin x)' - 5(\cos x)' + \sqrt{2}(\cos(5x))'$

$f'(x) = 5\cos x - 5(-\sin x) + \sqrt{2}(-\sin(5x) \cdot (5x)')$

$f'(x) = 5\cos x + 5\sin x - 5\sqrt{2}\sin(5x)$

Теперь приравняем производную к нулю:

$5\cos x + 5\sin x - 5\sqrt{2}\sin(5x) = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$\cos x + \sin x - \sqrt{2}\sin(5x) = 0$

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(5x)$

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода введения вспомогательного угла. Вынесем за скобки $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin(5x)$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$:

$\sqrt{2}\left(\sin x \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\sin(5x)$

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin(5x)$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin(5x)$

Решение этого тригонометрического уравнения распадается на два случая (где $n \in \mathbb{Z}$):

1) $x + \frac{\pi}{4} = 5x + 2\pi n$

$4x = \frac{\pi}{4} - 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi n}{2}$. Поскольку $n$ — любое целое число, мы можем заменить $-n$ на $k$, где $k$ также любое целое число.

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - 5x + 2\pi n$

$6x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$6x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{3\pi}{24} + \frac{2\pi n}{6}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = 1 - \cos(2x) + \sin x - \cos x - x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (1 - \cos(2x) + \sin x - \cos x - x)'$

$f'(x) = 0 - (-\sin(2x) \cdot 2) + \cos x - (-\sin x) - 1$

$f'(x) = 2\sin(2x) + \cos x + \sin x - 1$

Приравняем производную к нулю:

$2\sin(2x) + \cos x + \sin x - 1 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2(2\sin x \cos x) + (\sin x + \cos x) - 1 = 0$

$4\sin x \cos x + (\sin x + \cos x) - 1 = 0$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x$.

Отсюда выразим $2\sin x \cos x = t^2 - 1$, а значит $4\sin x \cos x = 2(t^2 - 1) = 2t^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(2t^2 - 2) + t - 1 = 0$

$2t^2 + t - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

Случай 1: $t = 1$

$\sin x + \cos x = 1$

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$, откуда $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Это уравнение имеет две серии решений ($n \in \mathbb{Z}$):

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Случай 2: $t = -3/2$

$\sin x + \cos x = -1.5$

Область значений функции $y = \sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-1.5$ не входит в эту область значений (поскольку $-1.5 < -\sqrt{2}$).

Следовательно, в этом случае уравнение не имеет решений.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только те, что получены в первом случае.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

218. Найти значения производной функции $f(x)$ в точках, в которых значение этой функции равно 0, если:

1) $f(x) = e^{2x} \ln(2x - 1)$;

2) $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x}$.

1) Заданная функция $f(x) = e^{2x} \ln(2x - 1)$.
Первым шагом найдем точки, в которых значение функции равно нулю. Для этого необходимо решить уравнение $f(x) = 0$: $e^{2x} \ln(2x - 1) = 0$.
Поскольку множитель $e^{2x}$ всегда строго положителен ($e^{2x} > 0$ для любого действительного $x$), равенство может выполняться только в том случае, если второй множитель равен нулю: $\ln(2x - 1) = 0$.
Натуральный логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице: $2x - 1 = 1$.
Отсюда находим $x$: $2x = 2$, $x = 1$.
При этом необходимо учесть область определения функции, которая задается условием $2x - 1 > 0$, то есть $x > 1/2$. Найденное значение $x = 1$ удовлетворяет этому условию.
Вторым шагом найдем производную функции $f(x)$. Так как функция представляет собой произведение двух функций, $u(x) = e^{2x}$ и $v(x) = \ln(2x-1)$, воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = (e^{2x})' \cdot \ln(2x - 1) + e^{2x} \cdot (\ln(2x - 1))'$.
Найдем производные составляющих функций: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$. $(\ln(2x - 1))' = \frac{1}{2x-1} \cdot (2x-1)' = \frac{2}{2x-1}$.
Подставим их в формулу для производной $f'(x)$: $f'(x) = 2e^{2x} \ln(2x - 1) + e^{2x} \frac{2}{2x - 1}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x = 1$: $f'(1) = 2e^{2 \cdot 1} \ln(2 \cdot 1 - 1) + e^{2 \cdot 1} \frac{2}{2 \cdot 1 - 1} = 2e^2 \ln(1) + e^2 \frac{2}{1}$.
Так как $\ln(1) = 0$, получаем: $f'(1) = 2e^2 \cdot 0 + 2e^2 = 2e^2$.
Ответ: $2e^2$.

2) Заданная функция $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x}$.
Сначала найдем точки, в которых $f(x) = 0$. Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Решим уравнение $f(x) = 0$: $\frac{\sin x - \cos x}{\sin x} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $\sin x - \cos x = 0$.
$\sin x = \cos x$.
Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен быть равен $\pm 1$, что противоречит равенству $\sin x = \cos x$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$, $\tan x = 1$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для этих значений $x$ знаменатель $\sin x$ не равен нулю ($\sin(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$), поэтому все найденные точки входят в область определения.
Теперь найдем производную функции $f(x)$. Для удобства сначала упростим выражение для $f(x)$: $f(x) = \frac{\sin x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = 1 - \cot x$.
Производная этой функции: $f'(x) = (1 - \cot x)' = 0 - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Вычислим значение производной в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Для этого найдем значение $\sin^2 x$ в этих точках: $\sin^2(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\pi k) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\pi k)\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-1)^k + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0\right)^2 = \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, значение $\sin^2 x$ одинаково для всех найденных точек. Подставим это значение в выражение для производной: $f'(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \frac{1}{1/2} = 2$.
Ответ: 2.

219. Вычислить $f'(x) + f(x) + 2$, если $f(x) = x\sin 2x$, $x = \pi$.

a) $y = kx + b, k > 0$

б) $y = kx + b, k < 0$

Рис. 46

Для вычисления значения выражения $f'(x) + f(x) + 2$ при заданных условиях $f(x) = x \sin(2x)$ и $x = \pi$ выполним следующие шаги:

1. Нахождение производной функции $f(x)$

Функция $f(x) = x \sin(2x)$ является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sin(2x)$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

Найдем производные от $u(x)$ и $v(x)$:

Производная от $u(x) = x$ равна $u'(x) = 1$.

Для нахождения производной от $v(x) = \sin(2x)$ применим правило дифференцирования сложной функции. Производная от $\sin(t)$ равна $\cos(t)$, а производная от внутренней функции $2x$ равна $2$.

$v'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \sin(2x) + x \cdot (2\cos(2x)) = \sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

2. Вычисление значений $f(x)$ и $f'(x)$ при $x = \pi$

Сначала вычислим значение исходной функции $f(x)$ в точке $x = \pi$:

$f(\pi) = \pi \sin(2\pi)$.

Зная, что $\sin(2\pi) = 0$, получаем:

$f(\pi) = \pi \cdot 0 = 0$.

Далее вычислим значение производной $f'(x)$ в точке $x = \pi$:

$f'(\pi) = \sin(2\pi) + 2\pi\cos(2\pi)$.

Зная, что $\sin(2\pi) = 0$ и $\cos(2\pi) = 1$, получаем:

$f'(\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.

3. Вычисление итогового выражения

Подставим вычисленные значения $f(\pi)$ и $f'(\pi)$ в исходное выражение:

$f'(\pi) + f(\pi) + 2 = 2\pi + 0 + 2 = 2\pi + 2$.

Ответ: $2\pi + 2$.