Номер 213, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 7. Производные элементарных функций - номер 213, страница 89.

Условие.

213. 1) $ \frac{1 + \cos x}{\sin x} $;

2) $ \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1} $;

3) $ \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4x + 1} $;

4) $ \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $\sin x$ обращается в ноль:

$\sin x = 0$

Это уравнение имеет решения:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{ \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.

2)

Дана функция $y = \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1}$.

Эта функция имеет два ограничения:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$3x \geq 0$

$x \geq 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$3^x + 1 \neq 0$

Показательная функция $3^x$ всегда строго положительна для любого действительного $x$, то есть $3^x > 0$.

Следовательно, $3^x + 1 > 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль.

Объединяя условия, получаем, что единственным ограничением является $x \geq 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

3)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4x + 1}$.

Это рациональная функция. Ее область определения — все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$x^2 + 4x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Итак, $x_1 = -2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3}$.

Эти значения $x$ должны быть исключены из области определения.

Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{ -2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3} \}$.

4)

Дана функция $y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.

Это рациональная функция. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x^2 + x + 1 = 0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю. Более того, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$.

Поскольку знаменатель никогда не равен нулю, а числитель определен для всех $x$, область определения функции — это все действительные числа.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.