Номер 213, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 213, страница 89.
№213 (с. 89)
Условие. №213 (с. 89)
скриншот условия

213. 1) $ \frac{1 + \cos x}{\sin x} $;
2) $ \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1} $;
3) $ \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4x + 1} $;
4) $ \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $.
Решение 1. №213 (с. 89)




Решение 2. №213 (с. 89)

Решение 3. №213 (с. 89)
1)
Дана функция $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$.
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель $\sin x$ обращается в ноль:
$\sin x = 0$
Это уравнение имеет решения:
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{ \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.
2)
Дана функция $y = \frac{\sqrt{3x}}{3^x + 1}$.
Эта функция имеет два ограничения:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$3x \geq 0$
$x \geq 0$
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$3^x + 1 \neq 0$
Показательная функция $3^x$ всегда строго положительна для любого действительного $x$, то есть $3^x > 0$.
Следовательно, $3^x + 1 > 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль.
Объединяя условия, получаем, что единственным ограничением является $x \geq 0$.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.
3)
Дана функция $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 4x + 1}$.
Это рациональная функция. Ее область определения — все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$x^2 + 4x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Итак, $x_1 = -2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3}$.
Эти значения $x$ должны быть исключены из области определения.
Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{ -2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3} \}$.
4)
Дана функция $y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.
Это рациональная функция. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$x^2 + x + 1 = 0$
Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю. Более того, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно для любого действительного $x$.
Поскольку знаменатель никогда не равен нулю, а числитель определен для всех $x$, область определения функции — это все действительные числа.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 213 расположенного на странице 89 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №213 (с. 89), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.