Номер 220, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Производные элементарных функций. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 220, страница 90.

№220 (с. 90)
Условие. №220 (с. 90)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 90, номер 220, Условие

220. Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно $0$; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = x - \ln x;$

2) $f(x) = x \ln x;$

3) $f(x) = x^2 \ln x;$

4) $f(x) = x^3 - 3 \ln x.$

Решение 1. №220 (с. 90)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 90, номер 220, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 90, номер 220, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 90, номер 220, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №220 (с. 90)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 90, номер 220, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 90, номер 220, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №220 (с. 90)

1) Дана функция $f(x) = x - \ln x$.
Область определения функции (ОДЗ) задается условием $x > 0$, так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным.
Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:
$f'(x) = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$.
Приведем производную к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{x-1}{x}$.
Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна 0, положительна и отрицательна.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$\frac{x-1}{x} = 0$.
Так как $x \in (0, +\infty)$, то знаменатель не равен нулю. Значит, числитель должен быть равен нулю:
$x-1 = 0 \implies x = 1$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{x-1}{x} > 0$.
Поскольку в области определения $x > 0$, знаменатель дроби всегда положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя:
$x-1 > 0 \implies x > 1$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{x-1}{x} < 0$.
Аналогично, так как $x > 0$, знак дроби определяется знаком числителя: $x-1 < 0 \implies x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.
Ответ: производная равна 0 при $x=1$; производная положительна при $x \in (1, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, 1)$.

2) Дана функция $f(x) = x \ln x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x \ln x)' = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\ln x + 1 > 0 \implies \ln x > -1$.
Так как логарифмическая функция с основанием $e > 1$ является возрастающей, то $x > e^{-1}$, то есть $x > \frac{1}{e}$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\ln x + 1 < 0 \implies \ln x < -1 \implies x < e^{-1}$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < \frac{1}{e}$.
Ответ: производная равна 0 при $x=\frac{1}{e}$; производная положительна при $x \in (\frac{1}{e}, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, \frac{1}{e})$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 \ln x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную по правилу дифференцирования произведения:
$f'(x) = (x^2 \ln x)' = (x^2)'\ln x + x^2(\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$.
Вынесем общий множитель $x$: $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$x(2 \ln x + 1) = 0$.
Так как по ОДЗ $x > 0$, то $x \neq 0$. Следовательно, $2 \ln x + 1 = 0$.
$2 \ln x = -1 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$x(2 \ln x + 1) > 0$.
Поскольку $x > 0$, знак всего выражения определяется знаком скобки $(2 \ln x + 1)$:
$2 \ln x + 1 > 0 \implies 2 \ln x > -1 \implies \ln x > -\frac{1}{2} \implies x > e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$x(2 \ln x + 1) < 0$.
Так как $x > 0$, то $2 \ln x + 1 < 0$:
$2 \ln x < -1 \implies \ln x < -\frac{1}{2} \implies x < e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$.
Ответ: производная равна 0 при $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$; производная положительна при $x \in (\frac{1}{\sqrt{e}}, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, \frac{1}{\sqrt{e}})$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 - 3 \ln x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3 \ln x)' = (x^3)' - 3(\ln x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$.
Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{3x^3 - 3}{x} = \frac{3(x^3 - 1)}{x}$.
Производная равна 0: $f'(x) = 0$.
$\frac{3(x^3 - 1)}{x} = 0$.
Так как $x>0$, то $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.
Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{3(x^3 - 1)}{x} > 0$.
В области определения $x > 0$, поэтому знаменатель $x$ и множитель 3 положительны. Знак дроби зависит от знака выражения $(x^3 - 1)$:
$x^3 - 1 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1$.
Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{3(x^3 - 1)}{x} < 0$.
Аналогично, знак определяется выражением $(x^3 - 1)$:
$x^3 - 1 < 0 \implies x^3 < 1 \implies x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.
Ответ: производная равна 0 при $x=1$; производная положительна при $x \in (1, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (0, 1)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 220 расположенного на странице 90 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №220 (с. 90), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.