Номер 223, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 223, страница 96.

Условие.

223. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ и образующей с осью $Ox$ угол $\alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $x_0 = -3$, $y_0 = 2$;

2) $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $x_0 = -1$, $y_0 = -1$;

3) $\alpha = \frac{\pi}{6}$, $x_0 = 6$, $y_0 = -5$;

4) $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, $x_0 = 4$, $y_0 = -3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи используется уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; y_0)$ и имеющей заданный угловой коэффициент $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона $\alpha$ прямой к положительному направлению оси Ox соотношением $k = \tan(\alpha)$.

1) Дано: $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $x_0 = -3$, $y_0 = 2$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - 2 = 1 \cdot (x - (-3))$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y - 2 = x + 3$

$x - y + 5 = 0$

Ответ: $x - y + 5 = 0$.

---

2) Дано: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $x_0 = -1$, $y_0 = -1$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - (-1) = -1 \cdot (x - (-1))$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y + 1 = -1 \cdot (x + 1)$

$y + 1 = -x - 1$

$x + y + 2 = 0$

Ответ: $x + y + 2 = 0$.

---

3) Дано: $\alpha = \frac{\pi}{6}$, $x_0 = 6$, $y_0 = -5$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - (-5) = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 6)$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y + 5 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 6)$

$\sqrt{3}(y + 5) = x - 6$

$\sqrt{3}y + 5\sqrt{3} = x - 6$

$x - \sqrt{3}y - 6 - 5\sqrt{3} = 0$

Ответ: $x - \sqrt{3}y - 6 - 5\sqrt{3} = 0$.

---

4) Дано: $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, $x_0 = 4$, $y_0 = -3$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - (-3) = -\sqrt{3}(x - 4)$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y + 3 = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$

$\sqrt{3}x + y + 3 - 4\sqrt{3} = 0$

Ответ: $\sqrt{3}x + y + 3 - 4\sqrt{3} = 0$.