Страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

223. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ и образующей с осью $Ox$ угол $\alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $x_0 = -3$, $y_0 = 2$;

2) $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $x_0 = -1$, $y_0 = -1$;

3) $\alpha = \frac{\pi}{6}$, $x_0 = 6$, $y_0 = -5$;

4) $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, $x_0 = 4$, $y_0 = -3$.

Для решения задачи используется уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; y_0)$ и имеющей заданный угловой коэффициент $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона $\alpha$ прямой к положительному направлению оси Ox соотношением $k = \tan(\alpha)$.

1) Дано: $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $x_0 = -3$, $y_0 = 2$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - 2 = 1 \cdot (x - (-3))$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y - 2 = x + 3$

$x - y + 5 = 0$

Ответ: $x - y + 5 = 0$.

2) Дано: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $x_0 = -1$, $y_0 = -1$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - (-1) = -1 \cdot (x - (-1))$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y + 1 = -1 \cdot (x + 1)$

$y + 1 = -x - 1$

$x + y + 2 = 0$

Ответ: $x + y + 2 = 0$.

3) Дано: $\alpha = \frac{\pi}{6}$, $x_0 = 6$, $y_0 = -5$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - (-5) = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 6)$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y + 5 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 6)$

$\sqrt{3}(y + 5) = x - 6$

$\sqrt{3}y + 5\sqrt{3} = x - 6$

$x - \sqrt{3}y - 6 - 5\sqrt{3} = 0$

Ответ: $x - \sqrt{3}y - 6 - 5\sqrt{3} = 0$.

4) Дано: $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, $x_0 = 4$, $y_0 = -3$.

Находим угловой коэффициент:

$k = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Подставляем значения в уравнение прямой:

$y - (-3) = -\sqrt{3}(x - 4)$

Упрощаем и приводим к общему виду:

$y + 3 = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$

$\sqrt{3}x + y + 3 - 4\sqrt{3} = 0$

Ответ: $\sqrt{3}x + y + 3 - 4\sqrt{3} = 0$.

224. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x)=x^3, x_0=1;$

2) $f(x)=\sin x, x_0=\frac{\pi}{4};$

3) $f(x)=\ln x, x_0=1;$

4) $f(x)=e^x, x_0=\ln 3;$

5) $f(x)=3x^2-4x, x_0=2;$

6) $f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}, x_0=1.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Для решения каждой задачи мы найдем производную функции $f'(x)$ и вычислим ее значение в точке $x_0$.

1) Дано: $f(x) = x^3$, $x_0 = 1$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$

Ответ: 3.

2) Дано: $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$k = f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Дано: $f(x) = \ln x$, $x_0 = 1$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1.

4) Дано: $f(x) = e^x$, $x_0 = \ln 3$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \ln 3$:

$k = f'(\ln 3) = e^{\ln 3} = 3$

Ответ: 3.

5) Дано: $f(x) = 3x^2 - 4x$, $x_0 = 2$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (3x^2 - 4x)' = 3(x^2)' - 4(x)' = 3 \cdot 2x - 4 \cdot 1 = 6x - 4$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$k = f'(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$

Ответ: 8.

6) Дано: $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 1$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней:

$f(x) = x^{1/2} - x^{-1/2}$

Находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{1/2})' - (x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} - (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$

Перепишем производную в виде дробей с корнями:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1.

225. Найти угол между осью $Ox$ и касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^2, x_0 = 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3, x_0 = 1;$

3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 1;$

4) $f(x) = 2\sqrt{x}, x_0 = 3;$

5) $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}, x_0 = 1;$

6) $f(x) = \ln(2x+1), x_0 = \frac{1}{2}.$

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$ определяется тангенсом этого угла, который равен значению производной функции в данной точке: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения угла необходимо найти производную функции, вычислить ее значение в точке $x_0$ и затем найти арктангенс этого значения.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^2$, $x_0 = 1$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 2x = \frac{2}{3}x$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.
Угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона) равен $k = \frac{2}{3}$.
Следовательно, угол $\alpha$ равен:
$\alpha = \arctan(\frac{2}{3})$.
Ответ: $\arctan(\frac{2}{3})$.

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3$, $x_0 = 1$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = 1^2 = 1$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=1$.
$\tan(\alpha) = 1$, откуда находим угол $\alpha$ (учитывая, что угол острый, так как $k>0$):
$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = 1$

Находим производную функции, представив ее как $f(x) = x^{-1}$:
$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=-1$.
$\tan(\alpha) = -1$. Угол, образуемый с положительным направлением оси $Ox$, находится в диапазоне $[0, \pi)$. Так как тангенс отрицателен, угол тупой.
$\alpha = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

4) $f(x) = 2\sqrt{x}$, $x_0 = 3$

Находим производную функции, представив ее как $f(x) = 2x^{1/2}$:
$f'(x) = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$:
$k = f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, откуда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

5) $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}$, $x_0 = 1$

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (e^{\frac{3x+1}{2}})' = e^{\frac{3x+1}{2}} \cdot (\frac{3x+1}{2})' = e^{\frac{3x+1}{2}} \cdot \frac{3}{2}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = \frac{3}{2}e^{\frac{3 \cdot 1+1}{2}} = \frac{3}{2}e^{\frac{4}{2}} = \frac{3}{2}e^2$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=\frac{3}{2}e^2$.
Следовательно, угол $\alpha$ равен:
$\alpha = \arctan(\frac{3}{2}e^2)$.
Ответ: $\arctan(\frac{3}{2}e^2)$.

6) $f(x) = \ln(2x+1)$, $x_0 = \frac{1}{2}$

Находим производную сложной функции:
$f'(x) = (\ln(2x+1))' = \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:
$k = f'(\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$.
Угловой коэффициент касательной равен $k=1$.
$\tan(\alpha) = 1$, откуда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

226. На рисунке 55 изображён график функции $y=f(x)$ и касательные к графику в точках A, B, C, D. Определить знак производной этой функции в точках A, B, C, D.

Для определения знака производной функции $y=f(x)$ в указанных точках, воспользуемся ее геометрическим смыслом. Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке: $f'(x_0) = k = \tan\alpha$, где $\alpha$ — угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.

Знак производной определяется направлением касательной:

• Если касательная направлена вверх (возрастает), угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), его тангенс положителен, и, следовательно, производная $f'(x)$ в этой точке положительна. Это соответствует участку возрастания функции.
• Если касательная направлена вниз (убывает), угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), его тангенс отрицателен, и производная $f'(x)$ отрицательна. Это соответствует участку убывания функции.
• Если касательная горизонтальна (параллельна оси Ox), угол $\alpha$ равен $0^\circ$, его тангенс равен нулю, и производная $f'(x)$ равна нулю. Это происходит в точках экстремума (максимума или минимума).

Проанализируем каждую точку на гипотетическом графике, который обычно используется для таких задач.

Точка A

В точке A функция, как правило, изображается возрастающей. Касательная к графику в этой точке направлена вверх, образуя острый угол с положительным направлением оси Ox. Следовательно, ее угловой коэффициент положителен.
Ответ: производная в точке A положительна, $f'(x_A) > 0$.

Точка B

Точка B обычно является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна. Угол наклона такой касательной равен нулю. Следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю.
Ответ: производная в точке B равна нулю, $f'(x_B) = 0$.

Точка C

В точке C, расположенной после максимума, функция убывает. Касательная к графику в этой точке направлена вниз, образуя тупой угол с положительным направлением оси Ox. Следовательно, ее угловой коэффициент отрицателен.
Ответ: производная в точке C отрицательна, $f'(x_C) < 0$.

Точка D

Точка D, как правило, является точкой локального минимума. Как и в точке максимума, касательная к графику в этой точке экстремума будет горизонтальной. Ее угловой коэффициент равен нулю.
Ответ: производная в точке D равна нулю, $f'(x_D) = 0$.

227. Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3 + x^2 + 1, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 6x - 3x^2, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}, x_0 = 1;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^2}, x_0 = -2;$

5) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

6) $f(x) = e^x, x_0 = 0;$

7) $f(x) = \ln x, x_0 = 1;$

8) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 1.$

Рис. 55

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения касательной для каждой функции выполним следующие шаги:

1. Вычислим значение функции в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$.
3. Вычислим значение производной в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.
4. Подставим найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общее уравнение касательной и упростим его.

1) Дана функция $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Точка касания: $(1, 3)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^3 + x^2 + 1)' = 3x^2 + 2x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 3 + 5(x - 1)$
$y = 3 + 5x - 5$
$y = 5x - 2$.

Ответ: $y = 5x - 2$.

2) Дана функция $f(x) = 6x - 3x^2$ и точка $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = 6(2) - 3(2)^2 = 12 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0$.
Точка касания: $(2, 0)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 2$ (угловой коэффициент):
$f'(2) = 6 - 6(2) = 6 - 12 = -6$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$
$y = 0 + (-6)(x - 2)$
$y = -6x + 12$.

Ответ: $y = -6x + 12$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3}$ и точка $x_0 = 1$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-3}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.
Точка касания: $(1, 1)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = -\frac{3}{1^4} = -3$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + (-3)(x - 1)$
$y = 1 - 3x + 3$
$y = -3x + 4$.

Ответ: $y = -3x + 4$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ и точка $x_0 = -2$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-2}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Точка касания: $(-2, \frac{1}{4})$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = -2$ (угловой коэффициент):
$f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4}$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$
$y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(x + 2)$
$y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{2}{4}$
$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

5) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Точка касания: $(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$ (угловой коэффициент):
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(\frac{\pi}{3}) + f'(\frac{\pi}{3})(x - \frac{\pi}{3})$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

6) Дана функция $f(x) = e^x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = e^0 = 1$.
Точка касания: $(0, 1)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 0$ (угловой коэффициент):
$f'(0) = e^0 = 1$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 1 + 1(x - 0)$
$y = x + 1$.

Ответ: $y = x + 1$.

7) Дана функция $f(x) = \ln x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \ln(1) = 0$.
Точка касания: $(1, 0)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 1(x - 1)$
$y = x - 1$.

Ответ: $y = x - 1$.

8) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \sqrt{1} = 1$.
Точка касания: $(1, 1)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1)$
$y = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.