Страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

228. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=0$, если:

1) $f(x) = x^4 + 3x^2 - 4x + 2$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$;

3) $f(x) = 2x - \sqrt{x+1}$;

4) $f(x) = x + \frac{1}{x+1}$;

5) $f(x) = e^{3x} + \cos x$;

6) $f(x) = \sin 2x - \ln(x+1)$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.Для всех заданий $x_0=0$, поэтому формула упрощается до $y = f(0) + f'(0)x$.

Дана функция $f(x) = x^4 + 3x^2 - 4x + 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 0^4 + 3(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 + 3x^2 - 4x + 2)' = 4x^3 + 6x - 4$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4(0)^3 + 6(0) - 4 = -4$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=2$ и $f'(0)=-4$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-4)x = -4x + 2$.

Ответ: $y = -4x + 2$.

Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sqrt[3]{0+1} = \sqrt[3]{1} = 1$.

2. Найдем производную функции, представив ее в виде $f(x) = (x+1)^{1/3}$:
$f'(x) = ((x+1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(x+1)^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}(x+1)^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(0+1)^2}} = \frac{1}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=\frac{1}{3}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{1}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + 1$.

Дана функция $f(x) = 2x - \sqrt{x+1}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 2(0) - \sqrt{0+1} = 0 - 1 = -1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x - \sqrt{x+1})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=-1$ и $f'(0)=\frac{3}{2}$ в уравнение касательной:
$y = -1 + \frac{3}{2}x$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x - 1$.

Дана функция $f(x) = x + \frac{1}{x+1}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + (x+1)^{-1})' = 1 - 1 \cdot (x+1)^{-2} = 1 - \frac{1}{(x+1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 1 - \frac{1}{(0+1)^2} = 1 - 1 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot x = 1$.

Ответ: $y = 1$.

Дана функция $f(x) = e^{3x} + \cos x$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = e^{3 \cdot 0} + \cos(0) = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (e^{3x} + \cos x)' = e^{3x} \cdot 3 - \sin x = 3e^{3x} - \sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 3e^{3 \cdot 0} - \sin(0) = 3 \cdot 1 - 0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=2$ и $f'(0)=3$ в уравнение касательной:
$y = 2 + 3x$.

Ответ: $y = 3x + 2$.

Дана функция $f(x) = \sin(2x) - \ln(x+1)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin(2 \cdot 0) - \ln(0+1) = \sin(0) - \ln(1) = 0 - 0 = 0$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin(2x) - \ln(x+1))' = \cos(2x) \cdot 2 - \frac{1}{x+1} = 2\cos(2x) - \frac{1}{x+1}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2\cos(2 \cdot 0) - \frac{1}{0+1} = 2\cos(0) - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot x = x$.

Ответ: $y = x$.

229. Найти угол между осью Oy и касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=0$, если:

1) $f(x) = x^2 + e^{-x}$;

2) $f(x) = \cos x$;

3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$;

4) $f(x) = x^2 + 3x + \frac{2}{2x+1}$;

5) $f(x) = \ln(2x+1) + \frac{3}{x+1}$;

6) $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}$.

Угол $\beta$, который касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует с осью $Oy$, и угол $\alpha$, который эта же касательная образует с положительным направлением оси $Ox$, связаны соотношением $\beta = |\frac{\pi}{2} - \alpha|$. Мы будем находить острый угол между прямыми.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла $\alpha$: $k = \tan\alpha$. Также, угловой коэффициент равен значению производной функции в точке касания: $k = f'(x_0)$.

Для острого угла $\beta$ между касательной и осью $Oy$ справедливо соотношение $\cot\beta = |k| = |f'(x_0)|$. Таким образом, искомый угол $\beta$ находится по формуле:

$\beta = \text{arccot}(|f'(x_0)|)$.

Во всех пунктах задачи абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

1) $f(x) = x^2 + e^{-x}$

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^2 + e^{-x})' = 2x - e^{-x}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2 \cdot 0 - e^{-0} = 0 - 1 = -1$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

2) $f(x) = \cos x$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\sin(0) = 0$.

Угловой коэффициент равен нулю, значит, касательная горизонтальна. Угол между горизонтальной прямой и вертикальной осью $Oy$ равен $\frac{\pi}{2}$.
Проверим по формуле:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(0) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$

Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\left(x+1+e^{\frac{x}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\right) = \frac{2+e^{\frac{x}{2}}}{4\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \frac{2+e^0}{4\sqrt{0+1+e^0}} = \frac{2+1}{4\sqrt{1+1}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.

Ответ: $\text{arccot}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.

4) $f(x) = x^2 + 3x + \frac{2}{2x+1}$

Находим производную функции:
$f'(x) = \left(x^2 + 3x + 2(2x+1)^{-1}\right)' = 2x + 3 - 2(2x+1)^{-2} \cdot 2 = 2x + 3 - \frac{4}{(2x+1)^2}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2(0) + 3 - \frac{4}{(2(0)+1)^2} = 3 - 4 = -1$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

5) $f(x) = \ln(2x+1) + \frac{3}{x+1}$

Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\ln(2x+1) + 3(x+1)^{-1}\right)' = \frac{2}{2x+1} - 3(x+1)^{-2} = \frac{2}{2x+1} - \frac{3}{(x+1)^2}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \frac{2}{2(0)+1} - \frac{3}{(0+1)^2} = 2 - 3 = -1$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

6) $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}$

Представим функцию в виде $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}$.
Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = \sqrt{x+3}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \sqrt{0+3} = \sqrt{3}$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

230. Под каким углом пересекаются графики функций (угол между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):

1) $y=8-x$ и $y=4\sqrt{x+4}$;

2) $y=\frac{1}{2}(1+x)^2$ и $y=\frac{1}{2}(1-x)^2$;

3) $y=\ln(1+x)$ и $y=\ln(1-x)$;

4) $y=e^x$ и $y=e^{-x}$?

Угол между кривыми в точке их пересечения — это угол между касательными к кривым в этой точке. Угол $\phi$ между касательными с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле $\tan\phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|$. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равен значению ее производной $f'(x_0)$. Если произведение угловых коэффициентов $k_1 \cdot k_2 = -1$, то касательные перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Даны функции $y = 8 - x$ и $y = 4\sqrt{x+4}$.

Сначала найдем точку пересечения графиков. Для этого приравняем правые части уравнений:

$8 - x = 4\sqrt{x+4}$

Определим область допустимых значений. Для корня необходимо, чтобы $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Также, поскольку правая часть неотрицательна, левая часть тоже должна быть неотрицательной: $8 - x \ge 0$, то есть $x \le 8$. Таким образом, искомое значение $x$ должно лежать в промежутке $[-4, 8]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(8 - x)^2 = (4\sqrt{x+4})^2$

$64 - 16x + x^2 = 16(x+4)$

$x^2 - 16x + 64 = 16x + 64$

$x^2 - 32x = 0$

$x(x-32) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 32$. Корень $x_2 = 32$ не удовлетворяет условию $x \le 8$, поэтому он является посторонним. Единственная точка пересечения имеет абсциссу $x_0 = 0$.

Найдем производные данных функций:

Для $y_1 = 8 - x$, производная $y_1' = -1$.

Для $y_2 = 4\sqrt{x+4}$, производная $y_2' = 4 \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x+4}}) = \frac{2}{\sqrt{x+4}}$.

Теперь вычислим угловые коэффициенты касательных в точке пересечения $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = -1$.

$k_2 = y_2'(0) = \frac{2}{\sqrt{0+4}} = \frac{2}{2} = 1$.

Проверим условие перпендикулярности касательных: $k_1 \cdot k_2 = (-1) \cdot 1 = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, касательные перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Даны функции $y = \frac{1}{2}(1+x)^2$ и $y = \frac{1}{2}(1-x)^2$.

Найдем точку пересечения:

$\frac{1}{2}(1+x)^2 = \frac{1}{2}(1-x)^2$

$(1+x)^2 = (1-x)^2$

$1 + 2x + x^2 = 1 - 2x + x^2$

$4x = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = \frac{1}{2}(1+x)^2$, производная $y_1' = \frac{1}{2} \cdot 2(1+x) \cdot 1 = 1+x$.

Для $y_2 = \frac{1}{2}(1-x)^2$, производная $y_2' = \frac{1}{2} \cdot 2(1-x) \cdot (-1) = -(1-x) = x-1$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = 1+0 = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = 0-1 = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Даны функции $y = \ln(1+x)$ и $y = \ln(1-x)$.

Найдем точку пересечения. Область определения: $1+x>0 \implies x>-1$ и $1-x>0 \implies x<1$, т.е. $x \in (-1, 1)$.

$\ln(1+x) = \ln(1-x)$

$1+x = 1-x$

$2x = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = \ln(1+x)$, производная $y_1' = \frac{1}{1+x}$.

Для $y_2 = \ln(1-x)$, производная $y_2' = \frac{1}{1-x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1-x}$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = -\frac{1}{1-0} = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Даны функции $y = e^x$ и $y = e^{-x}$.

Найдем точку пересечения:

$e^x = e^{-x}$

$e^x = \frac{1}{e^x}$

$e^{2x} = 1$

$2x = \ln(1) = 0 \implies x_0 = 0$.

Найдем производные:

Для $y_1 = e^x$, производная $y_1' = e^x$.

Для $y_2 = e^{-x}$, производная $y_2' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Вычислим угловые коэффициенты в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = y_1'(0) = e^0 = 1$.

$k_2 = y_2'(0) = -e^{-0} = -1$.

Проверим произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

231. Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке — общую касательную; написать уравнение этой касательной:

1) $y = x^4, y = x^6 + 2x^2$

2) $y = x^4, y = x^3 - 3x^2$

3) $y = (x + 2)^2, y = 2 - x^2$

4) $y = x(2 + x), y = x(2 - x)$

5) $y = \sqrt{x+1}, y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$

6) $y = \sqrt{x+1}, y = 2 - \sqrt{1-x}$

1) $y = x^4, y = x^6 + 2x^2$

Обозначим функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^6 + 2x^2$.

1. Поиск общей точки.
Чтобы найти общие точки, приравняем выражения для $y$:
$x^4 = x^6 + 2x^2$
$x^6 - x^4 + 2x^2 = 0$
Вынесем $x^2$ за скобки:
$x^2(x^4 - x^2 + 2) = 0$
Одно из решений — $x_0 = 0$. Рассмотрим уравнение в скобках: $x^4 - x^2 + 2 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):
$t^2 - t + 2 = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней для $t$ нет. Следовательно, существует только одна точка пересечения с абсциссой $x_0 = 0$.
Найдем ординату этой точки: $y_0 = f(0) = 0^4 = 0$. Таким образом, графики имеют одну общую точку $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные функций:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^6 + 2x^2)' = 6x^5 + 4x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, угловые коэффициенты касательных в точке $(0, 0)$ равны, а значит, касательная является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 0$:
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: $y = 0$.

2) $y = x^4, y = x^3 - 3x^2$

Обозначим функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^3 - 3x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$x^4 = x^3 - 3x^2$
$x^4 - x^3 + 3x^2 = 0$
$x^2(x^2 - x + 3) = 0$
Одно из решений — $x_0 = 0$. Уравнение $x^2 - x + 3 = 0$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$, поэтому других действительных корней нет. Единственная общая точка имеет абсциссу $x_0 = 0$.
Ордината: $y_0 = f(0) = 0^4 = 0$. Общая точка — $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 0)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 0$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: $y = 0$.

3) $y = (x+2)^2, y = 2 - x^2$

Обозначим функции $f(x) = (x+2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$(x+2)^2 = 2 - x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 2 - x^2$
$2x^2 + 4x + 2 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = -1$. Найдем ординату: $y_0 = f(-1) = (-1+2)^2 = 1$. Общая точка — $(-1, 1)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = ((x+2)^2)' = 2(x+2)$
$g'(x) = (2 - x^2)' = -2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = 2(-1+2) = 2$
$g'(-1) = -2(-1) = 2$
Так как $f'(-1) = g'(-1)$, касательная в точке $(-1, 1)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (-1, 1)$ и $f'(-1) = 2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 1 = 2(x - (-1))$
$y - 1 = 2x + 2$
$y = 2x + 3$

Ответ: $y = 2x + 3$.

4) $y = x(2+x), y = x(2-x)$

Обозначим функции $f(x) = x(2+x) = 2x + x^2$ и $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$2x + x^2 = 2x - x^2$
$2x^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = 0$.
Найдем ординату: $y_0 = f(0) = 0(2+0) = 0$. Общая точка — $(0, 0)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (2x + x^2)' = 2 + 2x$
$g'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 + 2 \cdot 0 = 2$
$g'(0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 0)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 0)$ и $f'(0) = 2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 0 = 2(x - 0)$
$y = 2x$

Ответ: $y = 2x$.

5) $y = \sqrt{x+1}, y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$

Примечание: В условии задачи для функции $y = x^2 + \frac{1}{3}x + 1$, по-видимому, допущена опечатка. При данных коэффициентах у графиков есть две точки пересечения (одна из них $x=0$), но ни в одной из них нет общей касательной. Кроме того, поиск точки касания приводит к решению уравнений, не имеющих простых рациональных корней. Наиболее вероятная исправленная версия второй функции, для которой условия задачи выполняются: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1$. Ниже приведено решение для этого исправленного условия.

Обозначим функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1$.

1. Поиск точки касания.
Для существования общей касательной в точке $x_0$ необходимо равенство производных: $f'(x_0) = g'(x_0)$.
Найдем производные:
$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$g'(x) = (\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + 1)' = \frac{2x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$
Приравняем производные:
$\frac{1}{2\sqrt{x_0+1}} = \frac{x_0}{2} + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{x_0+1}} = x_0 + 1$
Пусть $u = \sqrt{x_0+1}$, тогда $u^2 = x_0+1$. Уравнение принимает вид: $\frac{1}{u} = u^2$, откуда $u^3 = 1$, что дает единственное действительное решение $u=1$.
Следовательно, $\sqrt{x_0+1} = 1 \implies x_0+1=1 \implies x_0=0$.

2. Проверка, является ли точка касания общей точкой.
Теперь проверим, совпадают ли значения функций в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sqrt{0+1} = 1$
$g(0) = \frac{0^2}{4} + \frac{0}{2} + 1 = 1$
Так как $f(0)=g(0)=1$, точка $(0,1)$ является общей точкой касания. Можно также показать, что это единственная общая точка.

3. Уравнение общей касательной.
Угловой коэффициент $k = f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2}$.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 1)$ и $k = 1/2$ в уравнение $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0)$
$y = \frac{1}{2}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

6) $y = \sqrt{x+1}, y = 2 - \sqrt{1-x}$

Обозначим функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = 2 - \sqrt{1-x}$. Область определения обеих функций: $x \in [-1, 1]$.

1. Поиск общей точки.
Приравняем функции: $f(x) = g(x)$.
$\sqrt{x+1} = 2 - \sqrt{1-x}$
$\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(1-x)} + (1-x) = 4$
$2 + 2\sqrt{1-x^2} = 4$
$2\sqrt{1-x^2} = 2$
$\sqrt{1-x^2} = 1$
Возведем в квадрат еще раз: $1-x^2 = 1 \implies x^2=0 \implies x_0=0$. Проверка показывает, что $x_0=0$ является корнем исходного уравнения. Это единственная общая точка. Найдем ординату: $y_0 = f(0) = \sqrt{0+1} = 1$. Общая точка — $(0, 1)$.

2. Проверка наличия общей касательной.
Найдем производные:
$f'(x) = (\sqrt{x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$g'(x) = (2 - \sqrt{1-x})' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = \frac{1}{2}$
$g'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1-0}} = \frac{1}{2}$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательная в точке $(0, 1)$ является общей.

3. Уравнение общей касательной.
Подставим $(x_0, y_0) = (0, 1)$ и $f'(0) = 1/2$ в уравнение $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0)$
$y = \frac{1}{2}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

232. Найти точки графика функции $y=f(x)$, в которых касательная к этому графику параллельна прямой $y=kx$, если:

1) $f(x) = x^2 - 3x + 4, k = 1;$

2) $f(x) = x(x+1), k = 3;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x, k = 1;$

4) $f(x) = e^x + e^{-x}, k = \frac{3}{2};$

5) $f(x) = \sqrt{3x+1}, k = \frac{3}{4};$

6) $f(x) = x + \sin x, k = 0.$

1) Условие того, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в некоторой точке $x_0$ параллельна прямой $y=kx$, состоит в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной равен значению производной $f'(x_0)$, а угловой коэффициент прямой равен $k$. Следовательно, нам нужно найти точки $x$, для которых выполняется равенство $f'(x) = k$.
Дана функция $f(x) = x^2 - 3x + 4$ и $k=1$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.
Приравняем производную к заданному значению $k$: $2x - 3 = 1$.
Решим полученное уравнение: $2x = 4$, откуда $x = 2$. Это абсцисса искомой точки.
Теперь найдем ординату, подставив значение $x$ в исходную функцию: $y = f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$.
Таким образом, искомая точка графика – это $(2, 2)$.
Ответ: $(2, 2)$.

2) Дана функция $f(x) = x(x+1) = x^2 + x$ и $k=3$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 + x)' = 2x + 1$.
Приравняем производную к $k$: $2x + 1 = 3$.
Решим уравнение: $2x = 2$, откуда $x = 1$.
Найдем соответствующую ординату: $y = f(1) = 1^2 + 1 = 2$.
Искомая точка – $(1, 2)$.
Ответ: $(1, 2)$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x$ и $k=1$.
Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 2 = x^2 + 2x - 2$.
Приравняем производную к $k$: $x^2 + 2x - 2 = 1$.
Получаем квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Решим его, например, с помощью разложения на множители: $(x+3)(x-1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. В данном случае у нас две точки.
Найдем ординаты для каждого значения $x$:
При $x_1 = -3$: $y_1 = f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 2(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 6 = -9 + 9 + 6 = 6$. Первая точка: $(-3, 6)$.
При $x_2 = 1$: $y_2 = f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + 1^2 - 2(1) = \frac{1}{3} + 1 - 2 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$. Вторая точка: $(1, -\frac{2}{3})$.
Ответ: $(-3, 6)$, $(1, -\frac{2}{3})$.

4) Дана функция $f(x) = e^x + e^{-x}$ и $k=\frac{3}{2}$.
Найдем производную: $f'(x) = (e^x + e^{-x})' = e^x - e^{-x}$.
Приравняем производную к $k$: $e^x - e^{-x} = \frac{3}{2}$.
Это уравнение можно переписать как $e^x - \frac{1}{e^x} = \frac{3}{2}$. Сделаем замену $t = e^x$, где $t > 0$.
$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$.
Умножим обе части на $2t$, чтобы избавиться от знаменателей: $2t^2 - 2 = 3t$, или $2t^2 - 3t - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение для $t$ с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$t_1 = \frac{3+5}{4} = 2$.
$t_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Так как $t = e^x > 0$, корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не подходит.
Возвращаемся к замене: $e^x = 2$, откуда $x = \ln 2$.
Найдем ординату: $y = f(\ln 2) = e^{\ln 2} + e^{-\ln 2} = 2 + \frac{1}{e^{\ln 2}} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
Искомая точка – $(\ln 2, \frac{5}{2})$.
Ответ: $(\ln 2, \frac{5}{2})$.

5) Дана функция $f(x) = \sqrt{3x+1}$ и $k=\frac{3}{4}$. Область определения функции: $3x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -\frac{1}{3}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции: $f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.
Приравняем производную к $k$: $\frac{3}{2\sqrt{3x+1}} = \frac{3}{4}$.
Сократим на 3: $\frac{1}{2\sqrt{3x+1}} = \frac{1}{4}$.
Отсюда следует, что $2\sqrt{3x+1} = 4$, или $\sqrt{3x+1} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $3x+1 = 4$.
Решаем уравнение: $3x = 3$, $x=1$. Это значение входит в область определения.
Найдем ординату: $y = f(1) = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$.
Искомая точка – $(1, 2)$.
Ответ: $(1, 2)$.

6) Дана функция $f(x) = x + \sin x$ и $k=0$.
Найдем производную: $f'(x) = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.
Приравняем производную к $k$: $1 + \cos x = 0$.
Отсюда $\cos x = -1$.
Решением этого тригонометрического уравнения является серия значений $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Для каждого такого $x$ найдем соответствующий $y$:
$y = f(\pi + 2\pi n) = (\pi + 2\pi n) + \sin(\pi + 2\pi n)$.
Поскольку синус имеет период $2\pi$, $\sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$.
Следовательно, $y = \pi + 2\pi n$.
Таким образом, существует бесконечное множество точек, координаты которых $( \pi + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

233. В каких точках касательная к графику функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ образует с осью $Ox$ угол, равный $-\frac{\pi}{4}$?

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = y'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox, то есть $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = -\frac{\pi}{4}$. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$

Теперь нам нужно найти точки, в которых производная функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ равна $-1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x+2}{x-2}\right)' = \frac{(x+2)'(x-2) - (x+2)(x-2)'}{(x-2)^2}$

$y' = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 2}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}$

Приравняем производную к найденному значению углового коэффициента $k = -1$:

$y'(x) = -1$

$\frac{-4}{(x-2)^2} = -1$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$\frac{4}{(x-2)^2} = 1$

Отсюда следует, что $(x-2)^2 = 4$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1) $x - 2 = 2 \implies x_1 = 4$

2) $x - 2 = -2 \implies x_2 = 0$

Мы нашли абсциссы искомых точек. Теперь найдем соответствующие им ординаты, подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = \frac{x+2}{x-2}$.

Для $x_1 = 4$:

$y_1 = \frac{4+2}{4-2} = \frac{6}{2} = 3$

Первая точка касания: $(4, 3)$.

Для $x_2 = 0$:

$y_2 = \frac{0+2}{0-2} = \frac{2}{-2} = -1$

Вторая точка касания: $(0, -1)$.

Ответ: $(4, 3)$ и $(0, -1)$.

234. Найти точки, в которых касательные к кривым $f(x)=x^3-x-1$ и $g(x)=3x^2-4x+1$ параллельны. Написать уравнения этих касательных.

Найти точки, в которых касательные к кривым параллельны

Условие параллельности двух касательных к графикам функций заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.

Даны две кривые, заданные функциями: $f(x) = x^3 - x - 1$ и $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$.

Сначала найдем производные этих функций:

$f'(x) = (x^3 - x - 1)' = 3x^2 - 1$

$g'(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$

Для того чтобы касательные были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Мы ищем точки $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, g(x_2))$, для которых $f'(x_1) = g'(x_2)$. В школьном курсе такие задачи часто подразумевают, что абсциссы точек касания совпадают, то есть $x_1 = x_2 = x_0$. Примем это допущение.

Приравняем производные, чтобы найти абсциссу $x_0$:

$f'(x_0) = g'(x_0)$

$3x_0^2 - 1 = 6x_0 - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$3x_0^2 - 6x_0 + 3 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x_0 - 1)^2 = 0$

Отсюда находим единственное значение абсциссы: $x_0 = 1$.

Теперь найдем ординаты (y-координаты) точек касания, подставив $x_0=1$ в уравнения исходных функций.

Для первой кривой $f(x)$:

$y_1 = f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1$.

Таким образом, точка касания на кривой $f(x)$ имеет координаты $(1, -1)$.

Для второй кривой $g(x)$:

$y_2 = g(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$.

Таким образом, точка касания на кривой $g(x)$ имеет координаты $(1, 0)$.

Ответ: Точки, в которых касательные к данным кривым параллельны, это точка $(1, -1)$ на кривой $f(x)$ и точка $(1, 0)$ на кривой $g(x)$.

Написать уравнения этих касательных

Общее уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $k$ - это угловой коэффициент, равный $f'(x_0)$.

Мы нашли, что абсцисса точек касания $x_0 = 1$. Вычислим общий угловой коэффициент $k$ для обеих касательных:

$k = f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2$.

Для проверки можно вычислить и $g'(1)$: $k = g'(1) = 6(1) - 4 = 2$. Угловой коэффициент действительно равен 2.

Теперь составим уравнения для каждой касательной.

1. Касательная к кривой $f(x) = x^3 - x - 1$ в точке $(1, -1)$:

$y - (-1) = 2(x - 1)$

$y + 1 = 2x - 2$

$y = 2x - 3$

2. Касательная к кривой $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$ в точке $(1, 0)$:

$y - 0 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

Ответ: Уравнение касательной к кривой $f(x)$ имеет вид $y = 2x - 3$, а уравнение касательной к кривой $g(x)$ — $y = 2x - 2$.

235. Написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x)=e^{\sin^2 x + \sin x}$, $x_0=\pi$;

2) $f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}$, $x_0=1$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) Дана функция $f(x) = e^{\sin^2 x + \sin x}$ и точка $x_0 = \pi$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} = e^{0^2 + 0} = e^0 = 1$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (e^{\sin^2 x + \sin x})' = e^{\sin^2 x + \sin x} \cdot (\sin^2 x + \sin x)'$.

Найдем производную от показателя степени:

$(\sin^2 x + \sin x)' = ((\sin x)^2)' + (\sin x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' + \cos x = 2\sin x \cos x + \cos x$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = e^{\sin^2 x + \sin x} (2\sin x \cos x + \cos x)$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$f'(\pi) = e^{\sin^2 \pi + \sin \pi} (2\sin \pi \cos \pi + \cos \pi) = e^{0+0} (2 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1)) = e^0 (0 - 1) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-1)(x - \pi)$

$y = 1 - x + \pi$.

Ответ: $y = -x + \pi + 1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}\sin\frac{\pi x^2}{2}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(1) = \frac{1}{1^2}\sin\frac{\pi \cdot 1^2}{2} = 1 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{x^2}\right)' \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{1}{x^2} \left(\sin\frac{\pi x^2}{2}\right)'$.

Вычислим производные по отдельности:

$\left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

$\left(\sin\frac{\pi x^2}{2}\right)' = \cos\frac{\pi x^2}{2} \cdot \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)' = \cos\frac{\pi x^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 2x = \pi x \cos\frac{\pi x^2}{2}$.

Подставим эти производные обратно в формулу для $f'(x)$:

$f'(x) = -\frac{2}{x^3} \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{1}{x^2} \left(\pi x \cos\frac{\pi x^2}{2}\right) = -\frac{2}{x^3} \sin\frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi}{x} \cos\frac{\pi x^2}{2}$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = -\frac{2}{1^3} \sin\frac{\pi \cdot 1^2}{2} + \frac{\pi}{1} \cos\frac{\pi \cdot 1^2}{2} = -2\sin\frac{\pi}{2} + \pi\cos\frac{\pi}{2} = -2 \cdot 1 + \pi \cdot 0 = -2$.

Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=1$ и $f'(x_0)=-2$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-2)(x - 1)$

$y = 1 - 2x + 2$

$y = -2x + 3$.

Ответ: $y = -2x + 3$.