Номер 234, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 234, страница 97.
№234 (с. 97)
Условие. №234 (с. 97)
скриншот условия

234. Найти точки, в которых касательные к кривым $f(x)=x^3-x-1$ и $g(x)=3x^2-4x+1$ параллельны. Написать уравнения этих касательных.
Решение 1. №234 (с. 97)

Решение 2. №234 (с. 97)

Решение 3. №234 (с. 97)
Найти точки, в которых касательные к кривым параллельны
Условие параллельности двух касательных к графикам функций заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.
Даны две кривые, заданные функциями: $f(x) = x^3 - x - 1$ и $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
Сначала найдем производные этих функций:
$f'(x) = (x^3 - x - 1)' = 3x^2 - 1$
$g'(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$
Для того чтобы касательные были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Мы ищем точки $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, g(x_2))$, для которых $f'(x_1) = g'(x_2)$. В школьном курсе такие задачи часто подразумевают, что абсциссы точек касания совпадают, то есть $x_1 = x_2 = x_0$. Примем это допущение.
Приравняем производные, чтобы найти абсциссу $x_0$:
$f'(x_0) = g'(x_0)$
$3x_0^2 - 1 = 6x_0 - 4$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$3x_0^2 - 6x_0 + 3 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом разности:
$(x_0 - 1)^2 = 0$
Отсюда находим единственное значение абсциссы: $x_0 = 1$.
Теперь найдем ординаты (y-координаты) точек касания, подставив $x_0=1$ в уравнения исходных функций.
Для первой кривой $f(x)$:
$y_1 = f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1$.
Таким образом, точка касания на кривой $f(x)$ имеет координаты $(1, -1)$.
Для второй кривой $g(x)$:
$y_2 = g(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$.
Таким образом, точка касания на кривой $g(x)$ имеет координаты $(1, 0)$.
Ответ: Точки, в которых касательные к данным кривым параллельны, это точка $(1, -1)$ на кривой $f(x)$ и точка $(1, 0)$ на кривой $g(x)$.
Написать уравнения этих касательных
Общее уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $k$ - это угловой коэффициент, равный $f'(x_0)$.
Мы нашли, что абсцисса точек касания $x_0 = 1$. Вычислим общий угловой коэффициент $k$ для обеих касательных:
$k = f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2$.
Для проверки можно вычислить и $g'(1)$: $k = g'(1) = 6(1) - 4 = 2$. Угловой коэффициент действительно равен 2.
Теперь составим уравнения для каждой касательной.
1. Касательная к кривой $f(x) = x^3 - x - 1$ в точке $(1, -1)$:
$y - (-1) = 2(x - 1)$
$y + 1 = 2x - 2$
$y = 2x - 3$
2. Касательная к кривой $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$ в точке $(1, 0)$:
$y - 0 = 2(x - 1)$
$y = 2x - 2$
Ответ: Уравнение касательной к кривой $f(x)$ имеет вид $y = 2x - 3$, а уравнение касательной к кривой $g(x)$ — $y = 2x - 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 234 расположенного на странице 97 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №234 (с. 97), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.