Номер 234, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 234, страница 97.

Условие.

234. Найти точки, в которых касательные к кривым $f(x)=x^3-x-1$ и $g(x)=3x^2-4x+1$ параллельны. Написать уравнения этих касательных.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Найти точки, в которых касательные к кривым параллельны

Условие параллельности двух касательных к графикам функций заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.

Даны две кривые, заданные функциями: $f(x) = x^3 - x - 1$ и $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$.

Сначала найдем производные этих функций:

$f'(x) = (x^3 - x - 1)' = 3x^2 - 1$

$g'(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$

Для того чтобы касательные были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Мы ищем точки $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, g(x_2))$, для которых $f'(x_1) = g'(x_2)$. В школьном курсе такие задачи часто подразумевают, что абсциссы точек касания совпадают, то есть $x_1 = x_2 = x_0$. Примем это допущение.

Приравняем производные, чтобы найти абсциссу $x_0$:

$f'(x_0) = g'(x_0)$

$3x_0^2 - 1 = 6x_0 - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$3x_0^2 - 6x_0 + 3 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x_0 - 1)^2 = 0$

Отсюда находим единственное значение абсциссы: $x_0 = 1$.

Теперь найдем ординаты (y-координаты) точек касания, подставив $x_0=1$ в уравнения исходных функций.

Для первой кривой $f(x)$:

$y_1 = f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1$.

Таким образом, точка касания на кривой $f(x)$ имеет координаты $(1, -1)$.

Для второй кривой $g(x)$:

$y_2 = g(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$.

Таким образом, точка касания на кривой $g(x)$ имеет координаты $(1, 0)$.

Ответ: Точки, в которых касательные к данным кривым параллельны, это точка $(1, -1)$ на кривой $f(x)$ и точка $(1, 0)$ на кривой $g(x)$.

Написать уравнения этих касательных

Общее уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $k$ - это угловой коэффициент, равный $f'(x_0)$.

Мы нашли, что абсцисса точек касания $x_0 = 1$. Вычислим общий угловой коэффициент $k$ для обеих касательных:

$k = f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2$.

Для проверки можно вычислить и $g'(1)$: $k = g'(1) = 6(1) - 4 = 2$. Угловой коэффициент действительно равен 2.

Теперь составим уравнения для каждой касательной.

1. Касательная к кривой $f(x) = x^3 - x - 1$ в точке $(1, -1)$:

$y - (-1) = 2(x - 1)$

$y + 1 = 2x - 2$

$y = 2x - 3$

2. Касательная к кривой $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$ в точке $(1, 0)$:

$y - 0 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

Ответ: Уравнение касательной к кривой $f(x)$ имеет вид $y = 2x - 3$, а уравнение касательной к кривой $g(x)$ — $y = 2x - 2$.