Номер 232, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 232, страница 97.

Условие.

232. Найти точки графика функции $y=f(x)$, в которых касательная к этому графику параллельна прямой $y=kx$, если:

1) $f(x) = x^2 - 3x + 4, k = 1;$

2) $f(x) = x(x+1), k = 3;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x, k = 1;$

4) $f(x) = e^x + e^{-x}, k = \frac{3}{2};$

5) $f(x) = \sqrt{3x+1}, k = \frac{3}{4};$

6) $f(x) = x + \sin x, k = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Условие того, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в некоторой точке $x_0$ параллельна прямой $y=kx$, состоит в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной равен значению производной $f'(x_0)$, а угловой коэффициент прямой равен $k$. Следовательно, нам нужно найти точки $x$, для которых выполняется равенство $f'(x) = k$.
Дана функция $f(x) = x^2 - 3x + 4$ и $k=1$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.
Приравняем производную к заданному значению $k$: $2x - 3 = 1$.
Решим полученное уравнение: $2x = 4$, откуда $x = 2$. Это абсцисса искомой точки.
Теперь найдем ординату, подставив значение $x$ в исходную функцию: $y = f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$.
Таким образом, искомая точка графика – это $(2, 2)$.
Ответ: $(2, 2)$.

2) Дана функция $f(x) = x(x+1) = x^2 + x$ и $k=3$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 + x)' = 2x + 1$.
Приравняем производную к $k$: $2x + 1 = 3$.
Решим уравнение: $2x = 2$, откуда $x = 1$.
Найдем соответствующую ординату: $y = f(1) = 1^2 + 1 = 2$.
Искомая точка – $(1, 2)$.
Ответ: $(1, 2)$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x$ и $k=1$.
Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 2 = x^2 + 2x - 2$.
Приравняем производную к $k$: $x^2 + 2x - 2 = 1$.
Получаем квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Решим его, например, с помощью разложения на множители: $(x+3)(x-1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. В данном случае у нас две точки.
Найдем ординаты для каждого значения $x$:
При $x_1 = -3$: $y_1 = f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 2(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 6 = -9 + 9 + 6 = 6$. Первая точка: $(-3, 6)$.
При $x_2 = 1$: $y_2 = f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + 1^2 - 2(1) = \frac{1}{3} + 1 - 2 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$. Вторая точка: $(1, -\frac{2}{3})$.
Ответ: $(-3, 6)$, $(1, -\frac{2}{3})$.

4) Дана функция $f(x) = e^x + e^{-x}$ и $k=\frac{3}{2}$.
Найдем производную: $f'(x) = (e^x + e^{-x})' = e^x - e^{-x}$.
Приравняем производную к $k$: $e^x - e^{-x} = \frac{3}{2}$.
Это уравнение можно переписать как $e^x - \frac{1}{e^x} = \frac{3}{2}$. Сделаем замену $t = e^x$, где $t > 0$.
$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$.
Умножим обе части на $2t$, чтобы избавиться от знаменателей: $2t^2 - 2 = 3t$, или $2t^2 - 3t - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение для $t$ с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$t_1 = \frac{3+5}{4} = 2$.
$t_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Так как $t = e^x > 0$, корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не подходит.
Возвращаемся к замене: $e^x = 2$, откуда $x = \ln 2$.
Найдем ординату: $y = f(\ln 2) = e^{\ln 2} + e^{-\ln 2} = 2 + \frac{1}{e^{\ln 2}} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
Искомая точка – $(\ln 2, \frac{5}{2})$.
Ответ: $(\ln 2, \frac{5}{2})$.

5) Дана функция $f(x) = \sqrt{3x+1}$ и $k=\frac{3}{4}$. Область определения функции: $3x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -\frac{1}{3}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции: $f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.
Приравняем производную к $k$: $\frac{3}{2\sqrt{3x+1}} = \frac{3}{4}$.
Сократим на 3: $\frac{1}{2\sqrt{3x+1}} = \frac{1}{4}$.
Отсюда следует, что $2\sqrt{3x+1} = 4$, или $\sqrt{3x+1} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $3x+1 = 4$.
Решаем уравнение: $3x = 3$, $x=1$. Это значение входит в область определения.
Найдем ординату: $y = f(1) = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$.
Искомая точка – $(1, 2)$.
Ответ: $(1, 2)$.

6) Дана функция $f(x) = x + \sin x$ и $k=0$.
Найдем производную: $f'(x) = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.
Приравняем производную к $k$: $1 + \cos x = 0$.
Отсюда $\cos x = -1$.
Решением этого тригонометрического уравнения является серия значений $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Для каждого такого $x$ найдем соответствующий $y$:
$y = f(\pi + 2\pi n) = (\pi + 2\pi n) + \sin(\pi + 2\pi n)$.
Поскольку синус имеет период $2\pi$, $\sin(\pi + 2\pi n) = \sin(\pi) = 0$.
Следовательно, $y = \pi + 2\pi n$.
Таким образом, существует бесконечное множество точек, координаты которых $( \pi + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.