Номер 229, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 229, страница 97.
№229 (с. 97)
Условие. №229 (с. 97)
скриншот условия

229. Найти угол между осью Oy и касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=0$, если:
1) $f(x) = x^2 + e^{-x}$;
2) $f(x) = \cos x$;
3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$;
4) $f(x) = x^2 + 3x + \frac{2}{2x+1}$;
5) $f(x) = \ln(2x+1) + \frac{3}{x+1}$;
6) $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}$.
Решение 1. №229 (с. 97)






Решение 2. №229 (с. 97)

Решение 3. №229 (с. 97)
Угол $\beta$, который касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует с осью $Oy$, и угол $\alpha$, который эта же касательная образует с положительным направлением оси $Ox$, связаны соотношением $\beta = |\frac{\pi}{2} - \alpha|$. Мы будем находить острый угол между прямыми.
Угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла $\alpha$: $k = \tan\alpha$. Также, угловой коэффициент равен значению производной функции в точке касания: $k = f'(x_0)$.
Для острого угла $\beta$ между касательной и осью $Oy$ справедливо соотношение $\cot\beta = |k| = |f'(x_0)|$. Таким образом, искомый угол $\beta$ находится по формуле:
$\beta = \text{arccot}(|f'(x_0)|)$.
Во всех пунктах задачи абсцисса точки касания $x_0 = 0$.
1) $f(x) = x^2 + e^{-x}$
Находим производную функции:
$f'(x) = (x^2 + e^{-x})' = 2x - e^{-x}$.
Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2 \cdot 0 - e^{-0} = 0 - 1 = -1$.
Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.
2) $f(x) = \cos x$
Находим производную функции:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\sin(0) = 0$.
Угловой коэффициент равен нулю, значит, касательная горизонтальна. Угол между горизонтальной прямой и вертикальной осью $Oy$ равен $\frac{\pi}{2}$.
Проверим по формуле:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(0) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.
3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$
Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\left(x+1+e^{\frac{x}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\right) = \frac{2+e^{\frac{x}{2}}}{4\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}}$.
Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \frac{2+e^0}{4\sqrt{0+1+e^0}} = \frac{2+1}{4\sqrt{1+1}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.
Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.
Ответ: $\text{arccot}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.
4) $f(x) = x^2 + 3x + \frac{2}{2x+1}$
Находим производную функции:
$f'(x) = \left(x^2 + 3x + 2(2x+1)^{-1}\right)' = 2x + 3 - 2(2x+1)^{-2} \cdot 2 = 2x + 3 - \frac{4}{(2x+1)^2}$.
Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2(0) + 3 - \frac{4}{(2(0)+1)^2} = 3 - 4 = -1$.
Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.
5) $f(x) = \ln(2x+1) + \frac{3}{x+1}$
Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\ln(2x+1) + 3(x+1)^{-1}\right)' = \frac{2}{2x+1} - 3(x+1)^{-2} = \frac{2}{2x+1} - \frac{3}{(x+1)^2}$.
Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \frac{2}{2(0)+1} - \frac{3}{(0+1)^2} = 2 - 3 = -1$.
Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.
6) $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}$
Представим функцию в виде $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}$.
Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = \sqrt{x+3}$.
Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \sqrt{0+3} = \sqrt{3}$.
Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 229 расположенного на странице 97 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №229 (с. 97), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.