Номер 229, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 229, страница 97.

Условие.

229. Найти угол между осью Oy и касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=0$, если:

1) $f(x) = x^2 + e^{-x}$;

2) $f(x) = \cos x$;

3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$;

4) $f(x) = x^2 + 3x + \frac{2}{2x+1}$;

5) $f(x) = \ln(2x+1) + \frac{3}{x+1}$;

6) $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\beta$, который касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует с осью $Oy$, и угол $\alpha$, который эта же касательная образует с положительным направлением оси $Ox$, связаны соотношением $\beta = |\frac{\pi}{2} - \alpha|$. Мы будем находить острый угол между прямыми.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла $\alpha$: $k = \tan\alpha$. Также, угловой коэффициент равен значению производной функции в точке касания: $k = f'(x_0)$.

Для острого угла $\beta$ между касательной и осью $Oy$ справедливо соотношение $\cot\beta = |k| = |f'(x_0)|$. Таким образом, искомый угол $\beta$ находится по формуле:

$\beta = \text{arccot}(|f'(x_0)|)$.

Во всех пунктах задачи абсцисса точки касания $x_0 = 0$.

---

1) $f(x) = x^2 + e^{-x}$

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^2 + e^{-x})' = 2x - e^{-x}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2 \cdot 0 - e^{-0} = 0 - 1 = -1$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

2) $f(x) = \cos x$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\sin(0) = 0$.

Угловой коэффициент равен нулю, значит, касательная горизонтальна. Угол между горизонтальной прямой и вертикальной осью $Oy$ равен $\frac{\pi}{2}$.
Проверим по формуле:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(0) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$

Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\left(x+1+e^{\frac{x}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\right) = \frac{2+e^{\frac{x}{2}}}{4\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \frac{2+e^0}{4\sqrt{0+1+e^0}} = \frac{2+1}{4\sqrt{1+1}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.

Ответ: $\text{arccot}\left(\frac{3}{4\sqrt{2}}\right)$.

4) $f(x) = x^2 + 3x + \frac{2}{2x+1}$

Находим производную функции:
$f'(x) = \left(x^2 + 3x + 2(2x+1)^{-1}\right)' = 2x + 3 - 2(2x+1)^{-2} \cdot 2 = 2x + 3 - \frac{4}{(2x+1)^2}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2(0) + 3 - \frac{4}{(2(0)+1)^2} = 3 - 4 = -1$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

5) $f(x) = \ln(2x+1) + \frac{3}{x+1}$

Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\ln(2x+1) + 3(x+1)^{-1}\right)' = \frac{2}{2x+1} - 3(x+1)^{-2} = \frac{2}{2x+1} - \frac{3}{(x+1)^2}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \frac{2}{2(0)+1} - \frac{3}{(0+1)^2} = 2 - 3 = -1$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(|-1|) = \text{arccot}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

6) $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}$

Представим функцию в виде $f(x) = \frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}$.
Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = \sqrt{x+3}$.

Вычисляем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = \sqrt{0+3} = \sqrt{3}$.

Находим угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$:
$\beta = \text{arccot}(|k|) = \text{arccot}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.