Номер 224, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 224, страница 96.
№224 (с. 96)
Условие. №224 (с. 96)
скриншот условия

224. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:
1) $f(x)=x^3, x_0=1;$
2) $f(x)=\sin x, x_0=\frac{\pi}{4};$
3) $f(x)=\ln x, x_0=1;$
4) $f(x)=e^x, x_0=\ln 3;$
5) $f(x)=3x^2-4x, x_0=2;$
6) $f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}, x_0=1.$
Решение 1. №224 (с. 96)






Решение 2. №224 (с. 96)

Решение 3. №224 (с. 96)
Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Для решения каждой задачи мы найдем производную функции $f'(x)$ и вычислим ее значение в точке $x_0$.
1) Дано: $f(x) = x^3$, $x_0 = 1$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$
Ответ: 3.
2) Дано: $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$k = f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3) Дано: $f(x) = \ln x$, $x_0 = 1$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$
Ответ: 1.
4) Дано: $f(x) = e^x$, $x_0 = \ln 3$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \ln 3$:
$k = f'(\ln 3) = e^{\ln 3} = 3$
Ответ: 3.
5) Дано: $f(x) = 3x^2 - 4x$, $x_0 = 2$.
Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^2 - 4x)' = 3(x^2)' - 4(x)' = 3 \cdot 2x - 4 \cdot 1 = 6x - 4$
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:
$k = f'(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$
Ответ: 8.
6) Дано: $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 1$.
Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней:
$f(x) = x^{1/2} - x^{-1/2}$
Находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{1/2})' - (x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} - (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$
Перепишем производную в виде дробей с корнями:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$k = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
Ответ: 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 224 расположенного на странице 96 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №224 (с. 96), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.