Номер 224, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 224, страница 96.

Условие.

224. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x)=x^3, x_0=1;$

2) $f(x)=\sin x, x_0=\frac{\pi}{4};$

3) $f(x)=\ln x, x_0=1;$

4) $f(x)=e^x, x_0=\ln 3;$

5) $f(x)=3x^2-4x, x_0=2;$

6) $f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}, x_0=1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Для решения каждой задачи мы найдем производную функции $f'(x)$ и вычислим ее значение в точке $x_0$.

1) Дано: $f(x) = x^3$, $x_0 = 1$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$

Ответ: 3.

2) Дано: $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$k = f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Дано: $f(x) = \ln x$, $x_0 = 1$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1.

4) Дано: $f(x) = e^x$, $x_0 = \ln 3$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \ln 3$:

$k = f'(\ln 3) = e^{\ln 3} = 3$

Ответ: 3.

5) Дано: $f(x) = 3x^2 - 4x$, $x_0 = 2$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (3x^2 - 4x)' = 3(x^2)' - 4(x)' = 3 \cdot 2x - 4 \cdot 1 = 6x - 4$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$k = f'(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$

Ответ: 8.

6) Дано: $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 1$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней:

$f(x) = x^{1/2} - x^{-1/2}$

Находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{1/2})' - (x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} - (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$

Перепишем производную в виде дробей с корнями:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1.