Номер 227, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 227, страница 96.
№227 (с. 96)
Условие. №227 (с. 96)
скриншот условия

227. Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:
1) $f(x) = x^3 + x^2 + 1, x_0 = 1;$
2) $f(x) = 6x - 3x^2, x_0 = 2;$
3) $f(x) = \frac{1}{x^3}, x_0 = 1;$
4) $f(x) = \frac{1}{x^2}, x_0 = -2;$
5) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3};$
6) $f(x) = e^x, x_0 = 0;$
7) $f(x) = \ln x, x_0 = 1;$
8) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 1.$
Рис. 55
Решение 1. №227 (с. 96)








Решение 2. №227 (с. 96)


Решение 3. №227 (с. 96)
Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Для нахождения уравнения касательной для каждой функции выполним следующие шаги:
- Вычислим значение функции в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$.
- Найдем производную функции $f'(x)$.
- Вычислим значение производной в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.
- Подставим найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общее уравнение касательной и упростим его.
1) Дана функция $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ и точка $x_0 = 1$.
1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Точка касания: $(1, 3)$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (x^3 + x^2 + 1)' = 3x^2 + 2x$.
3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 3 + 5(x - 1)$
$y = 3 + 5x - 5$
$y = 5x - 2$.
Ответ: $y = 5x - 2$.
2) Дана функция $f(x) = 6x - 3x^2$ и точка $x_0 = 2$.
1. Значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = 6(2) - 3(2)^2 = 12 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0$.
Точка касания: $(2, 0)$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x$.
3. Значение производной в точке $x_0 = 2$ (угловой коэффициент):
$f'(2) = 6 - 6(2) = 6 - 12 = -6$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$
$y = 0 + (-6)(x - 2)$
$y = -6x + 12$.
Ответ: $y = -6x + 12$.
3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3}$ и точка $x_0 = 1$.
Представим функцию в виде $f(x) = x^{-3}$.
1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.
Точка касания: $(1, 1)$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = -\frac{3}{1^4} = -3$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + (-3)(x - 1)$
$y = 1 - 3x + 3$
$y = -3x + 4$.
Ответ: $y = -3x + 4$.
4) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ и точка $x_0 = -2$.
Представим функцию в виде $f(x) = x^{-2}$.
1. Значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Точка касания: $(-2, \frac{1}{4})$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
3. Значение производной в точке $x_0 = -2$ (угловой коэффициент):
$f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4}$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$
$y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(x + 2)$
$y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{2}{4}$
$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.
Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.
5) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
1. Значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Точка касания: $(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
3. Значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$ (угловой коэффициент):
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(\frac{\pi}{3}) + f'(\frac{\pi}{3})(x - \frac{\pi}{3})$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
6) Дана функция $f(x) = e^x$ и точка $x_0 = 0$.
1. Значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = e^0 = 1$.
Точка касания: $(0, 1)$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.
3. Значение производной в точке $x_0 = 0$ (угловой коэффициент):
$f'(0) = e^0 = 1$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 1 + 1(x - 0)$
$y = x + 1$.
Ответ: $y = x + 1$.
7) Дана функция $f(x) = \ln x$ и точка $x_0 = 1$.
1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \ln(1) = 0$.
Точка касания: $(1, 0)$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 1(x - 1)$
$y = x - 1$.
Ответ: $y = x - 1$.
8) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2}$.
1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \sqrt{1} = 1$.
Точка касания: $(1, 1)$.
2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.
4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1)$
$y = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 227 расположенного на странице 96 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №227 (с. 96), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.