Номер 227, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 227, страница 96.

Условие.

227. Написать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3 + x^2 + 1, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 6x - 3x^2, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}, x_0 = 1;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^2}, x_0 = -2;$

5) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

6) $f(x) = e^x, x_0 = 0;$

7) $f(x) = \ln x, x_0 = 1;$

8) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 1.$

Рис. 55

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения касательной для каждой функции выполним следующие шаги:

1. Вычислим значение функции в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$.
2. Найдем производную функции $f'(x)$.
3. Вычислим значение производной в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.
4. Подставим найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общее уравнение касательной и упростим его.

---

1) Дана функция $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Точка касания: $(1, 3)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^3 + x^2 + 1)' = 3x^2 + 2x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 3 + 5(x - 1)$
$y = 3 + 5x - 5$
$y = 5x - 2$.

Ответ: $y = 5x - 2$.

---

2) Дана функция $f(x) = 6x - 3x^2$ и точка $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = 6(2) - 3(2)^2 = 12 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0$.
Точка касания: $(2, 0)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 2$ (угловой коэффициент):
$f'(2) = 6 - 6(2) = 6 - 12 = -6$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$
$y = 0 + (-6)(x - 2)$
$y = -6x + 12$.

Ответ: $y = -6x + 12$.

---

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3}$ и точка $x_0 = 1$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-3}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.
Точка касания: $(1, 1)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = -\frac{3}{1^4} = -3$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + (-3)(x - 1)$
$y = 1 - 3x + 3$
$y = -3x + 4$.

Ответ: $y = -3x + 4$.

---

4) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ и точка $x_0 = -2$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-2}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
Точка касания: $(-2, \frac{1}{4})$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = -2$ (угловой коэффициент):
$f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4}$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$
$y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(x + 2)$
$y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{2}{4}$
$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

---

5) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Точка касания: $(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$ (угловой коэффициент):
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(\frac{\pi}{3}) + f'(\frac{\pi}{3})(x - \frac{\pi}{3})$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

---

6) Дана функция $f(x) = e^x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = e^0 = 1$.
Точка касания: $(0, 1)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 0$ (угловой коэффициент):
$f'(0) = e^0 = 1$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 1 + 1(x - 0)$
$y = x + 1$.

Ответ: $y = x + 1$.

---

7) Дана функция $f(x) = \ln x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \ln(1) = 0$.
Точка касания: $(1, 0)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 1(x - 1)$
$y = x - 1$.

Ответ: $y = x - 1$.

---

8) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2}$.

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \sqrt{1} = 1$.
Точка касания: $(1, 1)$.

2. Производная функции:
$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент):
$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.

4. Уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + \frac{1}{2}(x - 1)$
$y = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.