Номер 233, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Геометрический смысл производной. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 233, страница 97.
№233 (с. 97)
Условие. №233 (с. 97)
скриншот условия

233. В каких точках касательная к графику функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ образует с осью $Ox$ угол, равный $-\frac{\pi}{4}$?
Решение 1. №233 (с. 97)

Решение 2. №233 (с. 97)

Решение 3. №233 (с. 97)
Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = y'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox, то есть $k = \tan(\alpha)$.
По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = -\frac{\pi}{4}$. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$
Теперь нам нужно найти точки, в которых производная функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ равна $-1$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \left(\frac{x+2}{x-2}\right)' = \frac{(x+2)'(x-2) - (x+2)(x-2)'}{(x-2)^2}$
$y' = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 2}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}$
Приравняем производную к найденному значению углового коэффициента $k = -1$:
$y'(x) = -1$
$\frac{-4}{(x-2)^2} = -1$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$\frac{4}{(x-2)^2} = 1$
Отсюда следует, что $(x-2)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
1) $x - 2 = 2 \implies x_1 = 4$
2) $x - 2 = -2 \implies x_2 = 0$
Мы нашли абсциссы искомых точек. Теперь найдем соответствующие им ординаты, подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = \frac{x+2}{x-2}$.
Для $x_1 = 4$:
$y_1 = \frac{4+2}{4-2} = \frac{6}{2} = 3$
Первая точка касания: $(4, 3)$.
Для $x_2 = 0$:
$y_2 = \frac{0+2}{0-2} = \frac{2}{-2} = -1$
Вторая точка касания: $(0, -1)$.
Ответ: $(4, 3)$ и $(0, -1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 233 расположенного на странице 97 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №233 (с. 97), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.