Номер 233, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Параграф 8. Геометрический смысл производной - номер 233, страница 97.

Условие.

233. В каких точках касательная к графику функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ образует с осью $Ox$ угол, равный $-\frac{\pi}{4}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = y'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox, то есть $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = -\frac{\pi}{4}$. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$

Теперь нам нужно найти точки, в которых производная функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ равна $-1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x+2}{x-2}\right)' = \frac{(x+2)'(x-2) - (x+2)(x-2)'}{(x-2)^2}$

$y' = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 2}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}$

Приравняем производную к найденному значению углового коэффициента $k = -1$:

$y'(x) = -1$

$\frac{-4}{(x-2)^2} = -1$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$\frac{4}{(x-2)^2} = 1$

Отсюда следует, что $(x-2)^2 = 4$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1) $x - 2 = 2 \implies x_1 = 4$

2) $x - 2 = -2 \implies x_2 = 0$

Мы нашли абсциссы искомых точек. Теперь найдем соответствующие им ординаты, подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = \frac{x+2}{x-2}$.

Для $x_1 = 4$:

$y_1 = \frac{4+2}{4-2} = \frac{6}{2} = 3$

Первая точка касания: $(4, 3)$.

Для $x_2 = 0$:

$y_2 = \frac{0+2}{0-2} = \frac{2}{-2} = -1$

Вторая точка касания: $(0, -1)$.

Ответ: $(4, 3)$ и $(0, -1)$.