Номер 236, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 236, страница 98.

Условие.

236. Построить график функции $y = f(x)$ и выяснить, является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой:

1) $f(x) = \begin{cases} 3x - 4 \text{ при } x \neq 3, \\ 2 \text{ при } x = 3; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 5 - 2x \text{ при } x \neq 1, \\ -1 \text{ при } x = 1; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} \text{ при } x \geq 0, \\ x \text{ при } x < 0; \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} |x - 1| \text{ при } x < -1, \\ x^2 \text{ при } x \geq -1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x) = \begin{cases} 3x - 4 & \text{при } x \ne 3, \\ 2 & \text{при } x = 3. \end{cases}$
Построение графика:
График функции состоит из двух частей.
1. Для всех $x$, кроме $x=3$, график совпадает с графиком линейной функции $y = 3x - 4$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки, например, при $x=0$, $y=3(0)-4=-4$, точка $(0, -4)$; при $x=2$, $y=3(2)-4=2$, точка $(2, 2)$.
2. В точке $x=3$ значение функции $y=3x-4$ было бы равно $3(3)-4=5$. Так как в этой точке функция задана другой формулой, на прямой $y=3x-4$ в точке $(3, 5)$ будет "выколотая" точка (разрыв), которая обозначается пустым кружком.
3. При $x=3$ значение функции равно $f(3)=2$. Это отдельная точка с координатами $(3, 2)$, которая обозначается закрашенным кружком.
Итак, график представляет собой прямую $y = 3x - 4$ с выколотой точкой $(3, 5)$ и отдельной точкой $(3, 2)$.
Проверка на непрерывность:
Функция $y=3x-4$ непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому данная функция $f(x)$ непрерывна везде, кроме, возможно, точки $x=3$. Проверим непрерывность в точке $x=3$, используя определение непрерывности: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
1. Найдем значение функции в точке: $f(3) = 2$.
2. Найдем предел функции при $x \to 3$. При $x \to 3$, $x \ne 3$, поэтому $f(x)=3x-4$.
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (3x-4) = 3 \cdot 3 - 4 = 5$.
3. Сравним значение функции и ее предел в точке: $f(3) = 2$, а $\lim_{x \to 3} f(x) = 5$.
Поскольку $f(3) \ne \lim_{x \to 3} f(x)$, функция имеет разрыв (устранимый) в точке $x=3$ и, следовательно, не является непрерывной на всей числовой прямой.
Ответ: Функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

2) $f(x) = \begin{cases} 5 - 2x & \text{при } x \ne 1, \\ -1 & \text{при } x = 1. \end{cases}$
Построение графика:
График функции аналогичен предыдущему случаю.
1. Для всех $x \ne 1$, график совпадает с графиком линейной функции $y = 5 - 2x$. Это прямая. Для построения найдем две точки: при $x=0$, $y=5$, точка $(0, 5)$; при $x=2$, $y=5-4=1$, точка $(2, 1)$.
2. В точке $x=1$ на этой прямой будет выколотая точка, так как $y = 5 - 2(1) = 3$. Координаты выколотой точки — $(1, 3)$.
3. При $x=1$ значение функции равно $f(1)=-1$. Это отдельная точка с координатами $(1, -1)$.
График представляет собой прямую $y = 5 - 2x$ с выколотой точкой $(1, 3)$ и отдельной точкой $(1, -1)$.
Проверка на непрерывность:
Проверим непрерывность в точке $x=1$.
1. Значение функции: $f(1) = -1$.
2. Предел функции: $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (5-2x) = 5 - 2 \cdot 1 = 3$.
3. Сравнение: $f(1) = -1$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$.
Так как $f(1) \ne \lim_{x \to 1} f(x)$, функция имеет устранимый разрыв в точке $x=1$.
Ответ: Функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

3) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{при } x \ge 0, \\ x & \text{при } x < 0. \end{cases}$
Построение графика:
График состоит из двух частей, "склеенных" в точке $x=0$.
1. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и проходящая через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. При $x < 0$ график совпадает с графиком $y=x$. Это часть прямой (луч), проходящая через точки $(-1, -1)$, $(-2, -2)$ и заканчивающаяся в точке $(0, 0)$ (которая не включается в этот интервал).
Графики "стыкуются" в точке $(0, 0)$.
Проверка на непрерывность:
Функции $y=\sqrt{x}$ (при $x \ge 0$) и $y=x$ (при $x < 0$) непрерывны в своих областях определения. Единственная точка, где может быть разрыв — это точка "стыка" $x=0$. Проверим непрерывность в этой точке.
1. Значение функции: $f(0) = \sqrt{0} = 0$.
2. Найдем левый и правый пределы.
Левый предел (при $x \to 0^-$ используется формула $f(x)=x$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$.
Правый предел (при $x \to 0^+$ используется формула $f(x)=\sqrt{x}$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.
Так как левый и правый пределы равны, то $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
3. Сравнение: $f(0) = 0$ и $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
Поскольку $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$, функция непрерывна в точке $x=0$. Так как она непрерывна и во всех остальных точках, она непрерывна на всей числовой прямой.
Ответ: Функция является непрерывной на всей числовой прямой.

4) $f(x) = \begin{cases} |x-1| & \text{при } x < -1, \\ x^2 & \text{при } x \ge -1. \end{cases}$
Построение графика:
График состоит из двух частей, с границей в точке $x=-1$.
1. При $x \ge -1$ график совпадает с графиком $y=x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Она начинается в точке $x=-1$, где $y=(-1)^2=1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. Другие точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.
2. При $x < -1$ график совпадает с графиком $y=|x-1|$. Поскольку для всех $x < -1$ выражение $x-1$ отрицательно, то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Таким образом, на этом интервале мы строим график прямой $y=1-x$. Это луч, который заканчивается в точке $x=-1$. Найдем предельную точку: при $x \to -1$, $y \to 1-(-1)=2$. Таким образом, луч подходит к точке $(-1, 2)$, которая является выколотой. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, $x=-2$, тогда $y=1-(-2)=3$.
График состоит из луча, идущего из точки $(-1,2)$ через $(-2,3)$, и части параболы, начинающейся в точке $(-1,1)$.
Проверка на непрерывность:
Проверим непрерывность в точке $x=-1$.
1. Значение функции: $f(-1) = (-1)^2 = 1$.
2. Найдем односторонние пределы.
Левый предел (при $x \to -1^-$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} |x-1| = |-1-1| = |-2| = 2$.
Правый предел (при $x \to -1^+$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1$.
Так как левый предел ($2$) не равен правому пределу ($1$), общий предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв (скачок) в точке $x=-1$.
Ответ: Функция не является непрерывной на всей числовой прямой.