Номер 239, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 239, страница 98.

Условие.

239. 1) $\sin 5x + \cos(2x-3)$;

2) $e^{2x} - \ln 3x$;

3) $\sin(x-3) - \ln(1-2x)$;

4) $6\sin\frac{2x}{3} - e^{1-3x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдем производную функции $y = \sin 5x + \cos(2x - 3)$.

Производная суммы функций равна сумме производных:

$y' = (\sin 5x + \cos(2x - 3))' = (\sin 5x)' + (\cos(2x - 3))'$

Для нахождения производных каждого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и таблицу производных.

Производная первого слагаемого $(\sin 5x)'$:

Здесь внешняя функция $f(u) = \sin u$ ($f'(u) = \cos u$), а внутренняя $g(x) = 5x$ ($g'(x) = 5$).

$(\sin 5x)' = \cos(5x) \cdot (5x)' = \cos(5x) \cdot 5 = 5\cos 5x$.

Производная второго слагаемого $(\cos(2x - 3))'$:

Здесь внешняя функция $f(u) = \cos u$ ($f'(u) = -\sin u$), а внутренняя $g(x) = 2x - 3$ ($g'(x) = 2$).

$(\cos(2x - 3))' = -\sin(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = -\sin(2x - 3) \cdot 2 = -2\sin(2x - 3)$.

Складываем полученные производные:

$y' = 5\cos 5x - 2\sin(2x - 3)$.

Ответ: $5\cos 5x - 2\sin(2x - 3)$.

2) Найдем производную функции $y = e^{2x} - \ln 3x$.

Производная разности функций равна разности производных:

$y' = (e^{2x} - \ln 3x)' = (e^{2x})' - (\ln 3x)'$

Находим производную первого члена $(e^{2x})'$:

Внешняя функция $f(u) = e^u$ ($f'(u) = e^u$), внутренняя $g(x) = 2x$ ($g'(x) = 2$).

$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

Находим производную второго члена $(\ln 3x)'$:

Внешняя функция $f(u) = \ln u$ ($f'(u) = \frac{1}{u}$), внутренняя $g(x) = 3x$ ($g'(x) = 3$).

$(\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$.

Объединяем результаты:

$y' = 2e^{2x} - \frac{1}{x}$.

Ответ: $2e^{2x} - \frac{1}{x}$.

3) Найдем производную функции $y = \sin(x - 3) - \ln(1 - 2x)$.

Производная разности функций равна разности производных:

$y' = (\sin(x - 3))' - (\ln(1 - 2x))'$

Находим производную первого члена $(\sin(x - 3))'$:

Внешняя функция $f(u) = \sin u$ ($f'(u) = \cos u$), внутренняя $g(x) = x - 3$ ($g'(x) = 1$).

$(\sin(x - 3))' = \cos(x - 3) \cdot (x - 3)' = \cos(x - 3) \cdot 1 = \cos(x - 3)$.

Находим производную второго члена $(\ln(1 - 2x))'$:

Внешняя функция $f(u) = \ln u$ ($f'(u) = \frac{1}{u}$), внутренняя $g(x) = 1 - 2x$ ($g'(x) = -2$).

$(\ln(1 - 2x))' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (1 - 2x)' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{1 - 2x} = \frac{2}{2x - 1}$.

Объединяем результаты:

$y' = \cos(x - 3) - \left(-\frac{2}{1 - 2x}\right) = \cos(x - 3) + \frac{2}{1 - 2x}$.

Ответ: $\cos(x - 3) + \frac{2}{1 - 2x}$.

4) Найдем производную функции $y = 6\sin\frac{2x}{3} \cdot e^{1-3x}$.

Эта функция является произведением двух функций $u(x) = 6\sin\frac{2x}{3}$ и $v(x) = e^{1-3x}$.

Применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производную $u'(x)$:

$u'(x) = \left(6\sin\frac{2x}{3}\right)' = 6 \cdot \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)' = 6 \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \frac{2}{3} = 4\cos\frac{2x}{3}$.

Теперь найдем производную $v'(x)$:

$v'(x) = \left(e^{1-3x}\right)' = e^{1-3x} \cdot (1-3x)' = e^{1-3x} \cdot (-3) = -3e^{1-3x}$.

Подставляем найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \left(4\cos\frac{2x}{3}\right) \cdot e^{1-3x} + \left(6\sin\frac{2x}{3}\right) \cdot (-3e^{1-3x})$.

$y' = 4e^{1-3x}\cos\frac{2x}{3} - 18e^{1-3x}\sin\frac{2x}{3}$.

Можно вынести общий множитель $2e^{1-3x}$ за скобки для упрощения вида ответа:

$y' = 2e^{1-3x} \left(2\cos\frac{2x}{3} - 9\sin\frac{2x}{3}\right)$.

Ответ: $4e^{1-3x}\cos\frac{2x}{3} - 18e^{1-3x}\sin\frac{2x}{3}$.