Номер 244, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 244, страница 99.

Условие.

244. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $y = x^2 - 2x, x_0 = 3;$

2) $y = x^3 + 3x, x_0 = 3;$

3) $y = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6};$

4) $y = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — это значение функции в точке касания, а $f'(x_0)$ — это значение производной функции в той же точке, которое равно угловому коэффициенту касательной.

Для решения задачи необходимо для каждого случая выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции $f(x_0)$ в заданной точке $x_0$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Вычислить значение производной $f'(x_0)$ в точке $x_0$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной и упростить выражение.

---

1) $y = x^2 - 2x, x_0 = 3$

1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = 3 + 4(x - 3)$.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$y = 3 + 4x - 12$

$y = 4x - 9$.

Ответ: $y = 4x - 9$.

---

2) $y = x^3 + 3x, x_0 = 3$

1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3 = 27 + 9 = 36$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.

3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 3 \cdot 3^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = 36 + 30(x - 3)$.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$y = 36 + 30x - 90$

$y = 30x - 54$.

Ответ: $y = 30x - 54$.

---

3) $y = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$

1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{6})$.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

Можно привести свободные члены к общему знаменателю:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{6 - \pi\sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

---

4) $y = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}$

1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(x - \frac{\pi}{3})$

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

Можно привести свободные члены к общему знаменателю:

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{3 + \pi\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.