Номер 244, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 244, страница 99.
№244 (с. 99)
Условие. №244 (с. 99)
скриншот условия

244. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$, если:
1) $y = x^2 - 2x, x_0 = 3;$
2) $y = x^3 + 3x, x_0 = 3;$
3) $y = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6};$
4) $y = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}.$
Решение 1. №244 (с. 99)




Решение 2. №244 (с. 99)


Решение 3. №244 (с. 99)
Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
где $f(x_0)$ — это значение функции в точке касания, а $f'(x_0)$ — это значение производной функции в той же точке, которое равно угловому коэффициенту касательной.
Для решения задачи необходимо для каждого случая выполнить следующие шаги:
- Найти значение функции $f(x_0)$ в заданной точке $x_0$.
- Найти производную функции $f'(x)$.
- Вычислить значение производной $f'(x_0)$ в точке $x_0$.
- Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной и упростить выражение.
1) $y = x^2 - 2x, x_0 = 3$
1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.
3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = 3 + 4(x - 3)$.
Раскрываем скобки и упрощаем:
$y = 3 + 4x - 12$
$y = 4x - 9$.
Ответ: $y = 4x - 9$.
2) $y = x^3 + 3x, x_0 = 3$
1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3 = 27 + 9 = 36$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.
3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = 3 \cdot 3^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = 36 + 30(x - 3)$.
Раскрываем скобки и упрощаем:
$y = 36 + 30x - 90$
$y = 30x - 54$.
Ответ: $y = 30x - 54$.
3) $y = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$
1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:
$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:
$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{6})$.
Раскрываем скобки и упрощаем:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6}$
$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.
Можно привести свободные члены к общему знаменателю:
$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{6 - \pi\sqrt{3}}{12}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.
4) $y = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}$
1. Вычисляем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(x - \frac{\pi}{3})$
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.
Раскрываем скобки и упрощаем:
$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3}$
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
Можно привести свободные члены к общему знаменателю:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{3 + \pi\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 244 расположенного на странице 99 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №244 (с. 99), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.