Номер 251, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 251, страница 99.

Условие.

251. Вычислить предел функции:

1) $ \lim_{x\to 0} \frac{2 + x - x^3}{1 + 3x + x^2} $;

2) $ \lim_{x\to \infty} \frac{7x^3 + 3x^2 + 1}{14x^3 - x^2 - 5} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)Для вычисления данного предела необходимо подставить предельное значение $x=0$ в функцию. Так как функция является рациональной (отношением двух многочленов) и ее знаменатель не равен нулю при $x=0$, мы можем выполнить прямую подстановку.

$\lim_{x\to0} \frac{2+x-x^3}{1+3x+x^2} = \frac{2+0-0^3}{1+3 \cdot 0+0^2} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: 2

2)При $x \to \infty$ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, что приводит к неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для раскрытия этой неопределенности разделим числитель и знаменатель на $x$ в старшей степени, то есть на $x^3$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{7x^3+3x^2+1}{14x^3-x^2-5} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{7x^3}{x^3}+\frac{3x^2}{x^3}+\frac{1}{x^3}}{\frac{14x^3}{x^3}-\frac{x^2}{x^3}-\frac{5}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{7+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}{14-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^3}}$.

При $x \to \infty$ все слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе, стремятся к нулю: $\frac{3}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^3} \to 0$, $\frac{1}{x} \to 0$ и $\frac{5}{x^3} \to 0$.

Следовательно, предел равен:$\frac{7+0+0}{14-0-0} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$