Номер 255, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 255, страница 100.

Условие.

255. Найти все значения $a$, при которых $f'(x) \geq 0$ для всех действительных значений $x$, если $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти все значения параметра $a$, при которых $f'(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$.

Используя правила дифференцирования, получаем: $f'(x) = (x^3)' + (3x^2)' + (ax)' = 3x^2 + 6x + a$.

Теперь нам нужно решить неравенство $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Подставим выражение для производной: $3x^2 + 6x + a \ge 0$.

Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Левая часть представляет собой квадратичную функцию $g(x) = 3x^2 + 6x + a$. График этой функции — парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля ($3 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы парабола с ветвями вверх была всегда неотрицательной (то есть располагалась выше оси абсцисс или касалась ее), необходимо, чтобы соответствующее квадратное уравнение $3x^2 + 6x + a = 0$ имело не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ квадратного трехчлена меньше либо равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант для $3x^2 + 6x + a$: $D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 36 - 12a$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $a$: $36 - 12a \le 0$
$36 \le 12a$
Разделим обе части на 12:
$a \ge \frac{36}{12}$
$a \ge 3$.

Таким образом, производная $f'(x)$ будет неотрицательной для всех действительных значений $x$ при всех значениях $a$, удовлетворяющих условию $a \ge 3$.

Ответ: $a \ge 3$.