Номер 258, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 258, страница 101.

Условие.

258. Найти все значения $a$, при которых неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений, если:

1) $f(x) = ax^7 + x^3 - 1;$

2) $f(x) = x^5 + ax^3 + 3;$

3) $f(x) = (x + a)\sqrt{x};$

4) $f(x) = x + \frac{a}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений тогда и только тогда, когда для всех $x$ из области определения производной $f'(x)$ выполняется неравенство $f'(x) \ge 0$. Найдем значения параметра $a$, удовлетворяющие этому условию для каждой из функций.

1) Дана функция $f(x) = ax^7 + x^3 - 1$.
Найдем производную функции:$f'(x) = (ax^7 + x^3 - 1)' = 7ax^6 + 3x^2$.
Область определения производной — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).Неравенство $f'(x) \ge 0$ должно выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$:$7ax^6 + 3x^2 \ge 0$.
Вынесем $x^2$ за скобки:$x^2(7ax^4 + 3) \ge 0$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$).
Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что верно при любом $a$.
Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, и мы можем разделить неравенство на $x^2$, не меняя знака:$7ax^4 + 3 \ge 0$.
Это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$. Обозначим $t = x^4$. Поскольку $x \ne 0$, $t$ может принимать любые положительные значения ($t > 0$). Неравенство принимает вид:$7at + 3 \ge 0$ для всех $t > 0$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ge 0$, то $7a \ge 0$. Для любого $t > 0$ имеем $7at \ge 0$, следовательно $7at + 3 \ge 3 > 0$. Неравенство выполняется.
2. Если $a < 0$, то $7a < 0$. Выражение $7at$ может быть сколь угодно большим по модулю и отрицательным при возрастании $t$. Можно выбрать $t$ так, чтобы $7at < -3$. Например, при $t > -3/(7a)$ (это положительное число, т.к. $a<0$), получим $7at+3 < 0$. Значит, при $a < 0$ неравенство выполняется не для всех $t > 0$.
Следовательно, условие выполняется только при $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$.
Найдем производную:$f'(x) = (x^5 + ax^3 + 3)' = 5x^4 + 3ax^2$.
Область определения $x \in \mathbb{R}$.Требуется, чтобы $f'(x) \ge 0$ для всех $x$:$5x^4 + 3ax^2 \ge 0$.
Вынесем $x^2$ за скобки:$x^2(5x^2 + 3a) \ge 0$.
При $x = 0$ неравенство верно. При $x \ne 0$ оно эквивалентно$5x^2 + 3a \ge 0$.
Это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$. Так как выражение $5x^2 + 3a$ непрерывно, оно должно выполняться и при $x=0$.Рассмотрим функцию $g(x) = 5x^2 + 3a$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Её наименьшее значение достигается в вершине, при $x=0$.$g_{min} = g(0) = 5 \cdot 0^2 + 3a = 3a$.
Чтобы неравенство $g(x) \ge 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо и достаточно, чтобы его наименьшее значение было неотрицательным:$3a \ge 0$, откуда $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = (x + a)\sqrt{x}$.
Область определения функции: $x \ge 0$.Перепишем функцию: $f(x) = x\sqrt{x} + a\sqrt{x} = x^{3/2} + ax^{1/2}$.
Найдем производную:$f'(x) = (x^{3/2} + ax^{1/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{a}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{a}{2\sqrt{x}}$.
Область определения производной: $x > 0$.Приведем к общему знаменателю:$f'(x) = \frac{3x + a}{2\sqrt{x}}$.
Требуется, чтобы $f'(x) \ge 0$ для всех $x > 0$:$\frac{3x + a}{2\sqrt{x}} \ge 0$.
Знаменатель $2\sqrt{x}$ строго положителен при $x > 0$. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство эквивалентно:$3x + a \ge 0$ для всех $x > 0$.
Рассмотрим функцию $h(x) = 3x + a$. Это линейная возрастающая функция. Чтобы она была неотрицательной для всех $x > 0$, её точная нижняя грань (инфимум) на интервале $(0, +\infty)$ должна быть неотрицательной.$\inf_{x>0}(3x+a) = \lim_{x \to 0^+} (3x+a) = a$.
Следовательно, необходимо и достаточно, чтобы $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

4) Дана функция $f(x) = x + \frac{a}{x}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.Найдем производную:$f'(x) = (x + \frac{a}{x})' = 1 - \frac{a}{x^2}$.
Область определения производной: $x \ne 0$.Требуется, чтобы $f'(x) \ge 0$ для всех $x \ne 0$:$1 - \frac{a}{x^2} \ge 0$,
что равносильно $1 \ge \frac{a}{x^2}$.
Так как $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, можем умножить обе части на $x^2$, сохранив знак неравенства:$x^2 \ge a$.
Это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$.Множество значений функции $g(x) = x^2$ при $x \ne 0$ есть интервал $(0, +\infty)$.Точная нижняя грань (инфимум) этого множества значений равна 0.Чтобы неравенство $x^2 \ge a$ выполнялось для всех значений $x^2$ из интервала $(0, +\infty)$, параметр $a$ должен быть меньше или равен этой нижней грани.Следовательно, $a \le 0$.
Если $a > 0$, то можно выбрать $x$ так, что $0 < x^2 < a$ (например, $x = \sqrt{a}/2$), и неравенство $x^2 \ge a$ не будет выполняться.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.