Номер 262, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 262, страница 101.

Условие.

262. Найти уравнения касательных к графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2$, параллельных прямой $y = 6x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, искомые касательные должны быть параллельны прямой $y = 6x$. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой $y = 6x$ равен 6. Следовательно, для точек касания должно выполняться условие $f'(x_0) = 6$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2$:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x = x^2 - 5x$.

Теперь найдем абсциссы точек касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 6$:
$x_0^2 - 5x_0 = 6$
$x_0^2 - 5x_0 - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, существуют две касательные к графику функции, параллельные прямой $y = 6x$. Найдем уравнения для каждой из них.

1. Касательная в точке с абсциссой $x_0 = 6$.
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 6$ в исходную функцию:
$y_0 = f(6) = \frac{1}{3}(6)^3 - \frac{5}{2}(6)^2 = \frac{216}{3} - \frac{5 \cdot 36}{2} = 72 - 90 = -18$.
Точка касания: $(6, -18)$.
Составим уравнение касательной, используя точку $(6, -18)$ и угловой коэффициент $k=6$:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - (-18) = 6(x - 6)$
$y + 18 = 6x - 36$
$y = 6x - 54$

2. Касательная в точке с абсциссой $x_0 = -1$.
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = -1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{15}{6} = -\frac{17}{6}$.
Точка касания: $(-1, -\frac{17}{6})$.
Составим уравнение касательной, используя точку $(-1, -\frac{17}{6})$ и угловой коэффициент $k=6$:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - (-\frac{17}{6}) = 6(x - (-1))$
$y + \frac{17}{6} = 6(x + 1)$
$y = 6x + 6 - \frac{17}{6}$
$y = 6x + \frac{36}{6} - \frac{17}{6}$
$y = 6x + \frac{19}{6}$

Ответ: $y = 6x - 54$ и $y = 6x + \frac{19}{6}$.