Номер 257, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе II - номер 257, страница 100.

Условие.

257. Найти все значения $a$, при которых уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней, если:

1) $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2};$

2) $f(x) = ax + \frac{1}{x};$

3) $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x;$

4) $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Область определения функции: $x \neq 0$.

$f'(x) = (ax^2 - x^{-2})' = 2ax - (-2)x^{-3} = 2ax + \frac{2}{x^3}$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2ax + \frac{2}{x^3} = 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2ax^4 + 2}{x^3} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2ax^4 + 2 = 0 \\ x^3 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $ax^4 = -1$. Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^4 = -1$, или $0 = -1$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.
2. Если $a \neq 0$, можно разделить обе части на $a$: $x^4 = -\frac{1}{a}$.
Левая часть уравнения, $x^4$, всегда неотрицательна для любого действительного $x$ ($x^4 \ge 0$).
Уравнение не будет иметь действительных корней, если правая часть будет строго отрицательной:

$-\frac{1}{a} < 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{1}{a} > 0$

Это неравенство выполняется, когда $a > 0$.

Объединяя оба случая ($a=0$ и $a>0$), получаем, что уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.

2)

Дана функция $f(x) = ax + \frac{1}{x}$.
Найдем ее производную. Область определения: $x \neq 0$.

$f'(x) = (ax + x^{-1})' = a - 1 \cdot x^{-2} = a - \frac{1}{x^2}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$a - \frac{1}{x^2} = 0$

$a = \frac{1}{x^2}$

$ax^2 = 1$

Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение не имеет действительных корней (учитывая, что $x \neq 0$).

Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 = 1$, или $0 = 1$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.
2. Если $a \neq 0$, можно разделить на $a$: $x^2 = \frac{1}{a}$.
Левая часть, $x^2$, всегда неотрицательна для действительных $x$. Уравнение не будет иметь действительных корней, если правая часть будет отрицательной:

$\frac{1}{a} < 0$

Это неравенство выполняется, когда $a < 0$.

Объединяя оба случая ($a=0$ и $a<0$), получаем, что уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.

3)

Дана функция $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x$.
Найдем ее производную:

$f'(x) = (ax^3 + 3x^2 + 6x)' = 3ax^2 + 6x + 6$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$3ax^2 + 6x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$ax^2 + 2x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен.

Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $2x + 2 = 0$. Оно имеет один корень $x = -1$. Этот случай нам не подходит.
2. Если $a \neq 0$, это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 4 - 8a$.

Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$:

$4 - 8a < 0$

$4 < 8a$

$a > \frac{4}{8}$

$a > \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a > 1/2$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

4)

Дана функция $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax$.
Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^3 + 6x^2 + ax)' = 3x^2 + 12x + a$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 12x + a = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентом при $x^2$, равным 3 (не равным нулю). Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 144 - 12a$.

Условие отсутствия действительных корней: $D < 0$.

$144 - 12a < 0$

$144 < 12a$

$a > \frac{144}{12}$

$a > 12$

Следовательно, уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a > 12$.

Ответ: $a \in (12; +\infty)$.