Номер 257, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 257, страница 100.
№257 (с. 100)
Условие. №257 (с. 100)
скриншот условия

257. Найти все значения $a$, при которых уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней, если:
1) $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2};$
2) $f(x) = ax + \frac{1}{x};$
3) $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x;$
4) $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax.$
Решение 1. №257 (с. 100)




Решение 2. №257 (с. 100)

Решение 3. №257 (с. 100)
1)
Дана функция $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Область определения функции: $x \neq 0$.
$f'(x) = (ax^2 - x^{-2})' = 2ax - (-2)x^{-3} = 2ax + \frac{2}{x^3}$.
Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:
$2ax + \frac{2}{x^3} = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{2ax^4 + 2}{x^3} = 0$
Это уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2ax^4 + 2 = 0 \\ x^3 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $ax^4 = -1$. Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение не имеет действительных корней.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^4 = -1$, или $0 = -1$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.
2. Если $a \neq 0$, можно разделить обе части на $a$: $x^4 = -\frac{1}{a}$.
Левая часть уравнения, $x^4$, всегда неотрицательна для любого действительного $x$ ($x^4 \ge 0$).
Уравнение не будет иметь действительных корней, если правая часть будет строго отрицательной:
$-\frac{1}{a} < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{1}{a} > 0$
Это неравенство выполняется, когда $a > 0$.
Объединяя оба случая ($a=0$ и $a>0$), получаем, что уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a \ge 0$.
Ответ: $a \in [0; +\infty)$.
2)
Дана функция $f(x) = ax + \frac{1}{x}$.
Найдем ее производную. Область определения: $x \neq 0$.
$f'(x) = (ax + x^{-1})' = a - 1 \cdot x^{-2} = a - \frac{1}{x^2}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$a - \frac{1}{x^2} = 0$
$a = \frac{1}{x^2}$
$ax^2 = 1$
Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение не имеет действительных корней (учитывая, что $x \neq 0$).
Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 = 1$, или $0 = 1$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.
2. Если $a \neq 0$, можно разделить на $a$: $x^2 = \frac{1}{a}$.
Левая часть, $x^2$, всегда неотрицательна для действительных $x$. Уравнение не будет иметь действительных корней, если правая часть будет отрицательной:
$\frac{1}{a} < 0$
Это неравенство выполняется, когда $a < 0$.
Объединяя оба случая ($a=0$ и $a<0$), получаем, что уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a \le 0$.
Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.
3)
Дана функция $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (ax^3 + 3x^2 + 6x)' = 3ax^2 + 6x + 6$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3ax^2 + 6x + 6 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3:
$ax^2 + 2x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $2x + 2 = 0$. Оно имеет один корень $x = -1$. Этот случай нам не подходит.
2. Если $a \neq 0$, это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 4 - 8a$.
Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$:
$4 - 8a < 0$
$4 < 8a$
$a > \frac{4}{8}$
$a > \frac{1}{2}$
Таким образом, уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a > 1/2$.
Ответ: $a \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.
4)
Дана функция $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + 6x^2 + ax)' = 3x^2 + 12x + a$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 12x + a = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентом при $x^2$, равным 3 (не равным нулю). Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 144 - 12a$.
Условие отсутствия действительных корней: $D < 0$.
$144 - 12a < 0$
$144 < 12a$
$a > \frac{144}{12}$
$a > 12$
Следовательно, уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a > 12$.
Ответ: $a \in (12; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 257 расположенного на странице 100 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №257 (с. 100), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.